Esercizio fisica

Un serbatoio presenta due fori su una parete, il primo a una quota h1 ed il secondo ad una quota h2 misurate dal fondo. A quale altezza H deve essere il livello dell'acqua nel serbatoio se vogliamo che i getti che escono dai fori, con velocità orizzontali V1 e V2, arrivino alla stessa distanza dal serbatoio?

A)Dapprima risolvi usando solo le formule e poi calcola l'altezza H per valori di h2 20 cm e h1 = 50 cm.

B)Verifica inoltre che la velocità dei due getti nell'istante in cui arrivano a terra sia la stessa e calcola tale velocità.

C)Spiega perché la portata dei due fori e le velocità con cui i getti arrivano a terra non sono costanti nel tempo. È possibile calcolare il tempo necessario per svuotare completamente il serbatoio? Motiva le tue risposte.

A.1

V1 = √2g(H-h1) ; t1 = √2h1/g  ;  d = V1*t1 

V2 = √2g(H-h2) ; t2 = √2h2/g  ;  d = V2*t1 

se d è la stessa, allora : 

V1*t1 = V2*t2

√2g(H-h1) * √2h1/g = √2g(H-h2) * √2h2/g 

elevando al quadrato e semplificando g

2(H-h1)*2h1 = 2(H-h2)*2h2

4Hh1-4h1^2 = 4Hh2-4h2^2

4H(h1-h2) = 4(h1^2-h2^2)

H = (h1^2-h2^2)/(h1-h2) 

A.2

H = (0,5^2-0,2^2)/(0,5-0,2) = (0,25-0,04)/0,3 = 0,700 m (70,0 cm)  

B

V1 = √2g*(0,7-0,5) = 1,9806 m/s 

t1 = √2h1/g = √1/g = 0,3193 s

d = V1*t1 = 1,9806*0,3193 = 0,6325 m 

Vf1 = √V1^2+2*g*h1 = √1,9806^2+9,8066 = 3,7053 m/s

V2 = √2g*(0,7-0,2) = 3,1315 m/s 

t2 = √2h1/g = √0,4/g = 0,2020 s

d = V2*t2 = 3,1315*0,2020 = 0,6325 m 

Vf2 = √V2^2+2*g*h2 = √3,1315^2+9,8066*0,4 = 3,7053 m/s

...uguaglianza verificata alla 4° cifra decimale 

la velocità (e quindi la portata) di efflusso cambiano con il battente , sono quindi in continua diminuzione ; quando poi H scende sotto h1e poi h2 , dai fori  non esce più acqua .

Un calcolo preciso del tempo di svuotamento fino ad H = h2, oltre ai dati mancanti (area del serbatoio e dei due fori), richiede la conoscenza del calcolo differenziale.   

Un calcolo approssimativo, assumendo l'area di base pari a 100 dm^2 e quella di ciascun foro pari a 1 cm^2 è sotto riportata : 13450 s / 3600 s/h = 3,75 h circa 

x = v1 *t1;

x = v2 * t2;

v1 t1= v2 t2;

H = altezza del livello dell'acqua nel serbatoio;

v1 = radicequadrata[2g(H - h1)];

v2 radicequadrata[2g (H - h2)];  teorema di Torricelli;

t1 = radicequadrata(2  h1/g); tempo di caduta del getto da altezza h1;

t2 = radicequadrata(2 h2/g); tempo di caduta del getto da altezza h2;

v1 t1= v2 t2;

eliminiamo le radici quadrate;

[2g(H - h1)] * (2  h1/g) = [2g (H - h2)] * (2 h2/g); 

4 * (H - h1) * h1 = 4 * (H - h2) * h2;

H h1 - h1^2 = H h2 - h2^2;

H h1 - H h2 = h1^2 - h2^2;

H * (h1 - h2) = (h1 - h2) * (h1 + h2);

H = (h1 - h2) * (h1 + h2) / (h1 - h2);

H = h1 + h2;

H = 50 + 20 = 70 cm = 0,70 m; altezza del livello dell'acqua nel serbatoio;

v1x = radice[2 g (0,70 - 0,50)] = radice(2 * 9,8 * 0,20) = 1,98 m/s;

t1 = radice(2 * 0,50/9,8) = 0,32 s;

v1y = g * t1 = 9,8 * 0,32 = 3,13 m/s, velocità verticale;

v1 finale= radicequadrata(1,98^2 + 3,13^2) = 3,7 m/s; nel punto x;

v2x = radice[2 g (0,70 - 0,20)] = radice(2 * 9,8 * 0,50) = 3,13 m/s;

t2 = radice(2 * 0,20/9,8) = 0,202 s;

v2y = g * t2 = 9,8 * 0,202 = 1,98 m/s;

v2 finale = radicequadrata(3,13^2 + 1,98^2) = 3,7 m/s; nel punto x;

v1 finale = v2 finale in modulo; l'angolo che le velocità finali formano con l'asse orizzontale è diverso.

Le velocità variano con l'abbassarsi del livello H dell'acqua.

Portata = (Area del foro) * v; varia con la velocità di fuoriuscita.

Il serbatoio non si svuota, rimarrà acqua al livello di 20 cm, fino al foro in basso.

@paola_giusti     ciao.