Ciao!

Se non ho capito male la tua domanda, è sufficiente fare la derivata rispetto a $x$ due volte e una rispetto a $y$ (e viceversa)

$f(x,y) = x^2+ye^x$

derivo in $x$:

$f_x = 2x+ye^x$   derivo nuovamente in $x$
$f_{xx} = x+ye^x$     derivo in $y$
$f_{xxy} = e^x$

derivo in $y$:
$f_y= e^x$    derivo nuovamente in $y$
$f_{yy} = 0$   derivo in $x$
$f_{yyx} = 0$