@andrea_007
Risolvo il problema con esclusione dell'ultimo punto. Poi se avrò tempo e voglia ti forniro la risoluzione di quello mancante.
L'ellisse è del tipo:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 con b^2 > a^2 essendo i fuochi su y (x=0), quindi:
c^2 = b^2 - a^2
poi e^2 = c^2/b^2 per cui ricaviamo b^2:
e^2 = (1/2)^2-----> e^2 = 1/4
dai fuochi ricaviamo: c^2 = 2^2-----> c^2 = 4
quindi: 1/4 = 4/b^2----> b^2 = 16
in cascata: 2^2 = 16 - a^2----> a^2 = 12
Equazione ellisse: x^2/12 + y^2/16 = 1
Il punto P da cercare si trova a x=3 nel 1° quadrante come messo in figura:
3^2/12 + y^2/16 = 1-----> y = -2 ∨ y = 2
Quindi P(3,2)
Per la tangente t in P utilizzo formule di sdoppiamento:
3·x/12 + 2·y/16 = 1------> x/4 + y/8 = 1-----> 2·x + y - 8 = 0 oppure y = 8 - 2·x
Per il punto Q metto a sistema:
{y = 8 - 2·x
{y = -8
risolvo ed ottengo: [x = 8 ∧ y = -8]-----> Q(8,-8)
Considero poi i punti:
P(3,3); F1(0,-2); Q(8,-8)
Il coefficiente angolare del segmento PF1 vale:
m = (-2 - 2)/(0 - 3) = 4/3
Il coefficiente angolare del segmento QF1 vale:
m'= (-8 + 2)/(8 - 0) = - 3/4
quindi i lati del triangolo sono fra loro perpendicolari.
PQ è il diametro della circonferenza passante per questi tre punti:
Nel punto medio di PQ abbiamo il centro:
{x = (3 + 8)/2
{y = (2 - 8)/2
C(11/2,-3)
con r^2 che vale:
r^2 = (3 - 11/2)^2 + (2 + 3)^2-----> r^2 = 125/4
quindi equazione:
(x - 11/2)^2 + (y + 3)^2 = 125/4
(x^2 - 11·x + 121/4) + (y^2 + 6·y + 9) - 125/4 = 0
x^2 + y^2 - 11·x + 6·y + 8 = 0
