[Risolto] Esercizio distanza punto-retta matematica

@sara987

Ciao. Ti conviene risolvere il sistema delle due rette:

{3·x - y - 1 = 0

{2·x + y + 1 = 0

ed ottieni: [x = 0 ∧ y = -1]--------> A(0,-1)

Poi scrivi il fascio di rette proprio per A:

y + 1 = m·x-------> y = m·x - 1

Il generico punto P sulla bisettrice è quindi: P(x, m·x - 1)

Quindi scrivi:

ABS(3·x - (m·x - 1) - 1)/√10 = ABS(2·x + (m·x - 1) + 1)/√5

elevi al quadrato:

x^2·(m - 3)^2/10 = x^2·(m + 2)^2/5

x^2·(m - 3)^2 = 2·x^2·(m + 2)^2

(m - 3)^2 = 2·(m + 2)^2

m^2 - 6·m + 9 = 2·m^2 + 8·m + 8

m^2 + 14·m - 1 = 0

risolvi: m = - 5·√2 - 7 ∨ m = 5·√2 - 7

Trovi le due bisettrici:

y = - x·(5·√2 + 7) - 1--------> y = - 14.07106781·x - 1

y = x·(5·√2 - 7) - 1---------->y = 0.07106781185·x - 1

 

Brava Sara! Ti ringrazio per avere scritto quale classe frequenti.
in questa domanda vedo due quesiti uno su un luogo geometrico e uno su un particolare tipo di equazione che viene dalla procedura risolutiva del primo.
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A) Il luogo dei punti del piano equidistanti da due rette date è:
1) una di esse, se sono coincidenti;
2) l'asse della loro striscia, se sono parallele e distinte;
3) la coppia delle loro bisettrici, se sono incidenti.
Se ne determina l'equazione eguagliando i quadrati delle distanze del generico punto cursore C(x, y) da ciascuna di esse.
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La distanza del punto P(u, v) dalla retta x = k è d = |u - k|
La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = k è d = |v - k|
La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è
* d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
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Le rette date
* r ≡ y = 3*x - 1
* s ≡ 2*x + y + 1 = 0 ≡ y = - 2*x - 1
di pendenze differenti e quindi incidenti [in (0, - 1)] ricadono nel caso tre quindi il luogo sarà una coppia di rette ortogonali.
poiché nessuna delle due è parallela a un asse coordinato le distanze si calcolano con la formula d(u, v, m, q)
* r: d(x, y, 3, - 1) = |(3*x - 1 - y)|/√(3^2 + 1)
* s: d(x, y, - 2, - 1) = |(- 2*x - 1 - y)|/√((- 2)^2 + 1)
Eguagliandone i quadrati si ha
* (|(3*x - 1 - y)|/√(3^2 + 1))^2 = (|(- 2*x - 1 - y)|/√((- 2)^2 + 1))^2 ≡
≡ (3*x - y - 1)^2 - 2*(-2*x - y - 1)^2 = 0 ≡
≡ x^2 - 14*x*y - y^2 - 14*x - 2*y - 1 = 0 ≡
≡ ((- 7 - 5*√2)*x - y - 1)*((- 7 + 5*√2)*x - y - 1) = 0 ≡
≡ (y = (- 7 - 5*√2)*x - 1) oppure (y = (- 7 + 5*√2)*x - 1)
che è proprio una coppia di rette il cui prodotto delle pendenze
* (- 7 - 5*√2)*(- 7 + 5*√2) = 49 - 50 = - 1
le classifica come ortogonali e la cui intercetta (0, - 1) è la stessa di r ed s.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D3*x-1%2Cy%3D-2*x-1%2C%283*x-y-1%29%5E2-2*%28-2*x-y-1%29%5E2%3D0%5D
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B) La tua equazione si risolve quadrando membro a membro
* |3*x - y - 1|/√10 = |2*x + y + 1|/√5 ≡
≡ |3*x - y - 1|^2/10 = |2*x + y + 1|^2/5 ≡
≡ (3*x - y - 1)^2 = 2*(2*x + y + 1)^2
e ottenendone una, com'era ovvio, equivalente alla mia.