Esercizio disequazioni irrazionali

Ti consiglio vivamente di seguire questa figura per capire la soluzione.

È noto che $\overline{AP}=x$, quindi $\overline{PB}=\overline{AB}-\overline{AP}=1-x$, mentre $\overline{PE}=\frac{1-x}{2}$ perché $PHB$ è isoscele dato che è $\delta = 45^{\circ}$ perché è l'angolo della diagonale di un quadrato e il lato dello stesso quadrato, conseguentemente $\widehat{BPH} = 180^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}=45^{\circ}$ (la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre $180^{\circ}$) e $\overline{HE}$ è l'altezza rispetto alla base $\overline{PB}$ che in un triangolo isoscele è anche mediana. Si dimostra analogamente che $KQH$ è isoscele notando che $\overline{KH}$ deve essere parallelo a $\overline{AB}$ (perché $K$ è la proiezione di $H$ su $\overline{AD}$, quindi $\overline{KH} \perp \overline{AD} \perp \overline{AB} \implies \overline{KH} \parallel \overline{AB}$). $\overline{KH} \cong \overline{AE}$ perché $AEHK$ è un rettangolo ($\overline{KH} \perp \overline{AK} \perp \overline{AE} \perp \overline{HE}$, quindi abbiamo 4 angoli retti), allora $\overline{HK} \cong \overline{AE} = x+\frac{1-x}{2}=\frac{x+1}{2}$. $\overline{KF} = \frac{\overline{HK}}{2}=\frac{x+1}{4}$ si dimostra analogamente a $\overline{PE} = \frac{\overline{PB}}{2}$. Puoi notare che $EBIH$ è un quadrato perché è innanzitutto un rettangolo (perché formato da lati paralleli o giacenti sulle stesse rette di $ABCD$ che è un quadrato), è un quadrato perché $EBH$ è isoscele dato che $\delta =45^{\circ}$, $\widehat{BEH} = 90^{\circ}$ e $\widehat{EHB} = 180^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}=45^{\circ}$. Per il parallelismo segue che $\overline{EH} \cong \overline{BI} \cong \overline{EB} \cong \overline{IH}$, tutti i lati sono congruenti e perpendicolari tra loro, quindi $EHBI$ è un quadrato. Se $EHBI$ è un quadrato, la sua diagonale $\overline{HB}$ è $\ell \sqrt{2}$, quindi $\overline{HB}=\overline{EB} \sqrt{2}= \frac{1-x}{2} \sqrt{2}$. Ricordiamo che $PHB$ era isoscele, quindi $PH=\frac{1-x}{2} \sqrt{2}$. Si dimostra allo stesso modo che $\overline{KQ} = \frac{x+1}{4} \sqrt{2}$.

Mettendo tutto insieme:

Poniamo $x \geq 0 \land 1-x \geq 0 \implies 0 \leq x \leq 1$.

$\left( \frac{1-x}{2} \sqrt{2} \right)^2 + \left(\frac{x+1}{2} \right)^2 + \left( \frac{x+1}{4} \sqrt{2} \right)^2 \leq \frac{97}{112}$.

$2\frac{x^2-2x+1}{4}+ \frac{x^2+2x+1}{4} +2\frac{x^2+2x+1}{16} \leq \frac{97}{112}$

$\frac{x^2-2x+1}{2}+\frac{x^2+2x+1}{4}+\frac{x^2+2x+1}{8} \leq \frac{97}{112}$

$4(x^2-2x+1)+2(x^2+2x+1)+x^2+2x+1 \leq \frac{97}{14}$

$4x^2-8x+4+2x^2+4x+2+x^2+2x+1 \leq \frac{97}{14}$
$7x^2-2x+7 \leq \frac{97}{14}$

$98x^2-28x+98 \leq 97$

$98x^2-28x+1 \leq 0$

$98x^2-28x+1=0$

$x= \dfrac{28 \pm \sqrt{28^2-4 \cdot 1 \cdot 98}}{98 \cdot 2} = \dfrac{28\pm \sqrt{4 \cdot 14^2-4 \cdot 98}}{98 \cdot 2} = \dfrac{28\pm \sqrt{4 \cdot 7^2(2^2-2)}}{98 \cdot 2}= \dfrac{28 \pm 14\sqrt{2}}{2 \cdot 98}=\dfrac{2 \pm \sqrt{2}}{14}$. Come vedi, entrambe le soluzioni sono tali che $0 \leq x \leq 1$, in definitiva, per la regola della concordanza abbiamo che:

$\frac{2-\sqrt{2}}{14} \leq x \leq \frac{2+\sqrt{2}}{14}$.