Equazioni e disequazioni irrazionali

Sarà un po' difficile, ma segui i passaggi:

$\sqrt{2x}-\sqrt{3+x} > \sqrt{2x-1}-\sqrt{x+4}$

$\sqrt{2x}+\sqrt{x+4} > \sqrt{2x-1} + \sqrt{x+3}$

$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+3}<\sqrt{2x}+\sqrt{x+4}$

Come vedi, ho portato tutto in questa forma perché un'equazione irrazionale con il segno $<$ è più semplice di una con il segno $>$ e poi perché avendo sia al primo che al secondo membro una somma di radici, posso sicuramente elevare al quadrato (perché se le radici esistono sono positive o nulle), quindi l'unica cosa che devo fare è porre le condizioni di esistenza sui radicandi ed elevare al quadrato.
$\begin{cases} 2x-1 \geq 0 \\ x+3 \geq 0 \\ 2x \geq 0 \\ x+4 \geq 0 \\ LHS < RHS \end{cases}$

LHS= left-hand side (che in italiano chiamiamo primo membro), mentre RHS= right-hand side (secondo membro).

$\begin{cases} x \geq \frac{1}{2}\\ x \geq -3 \\ x \geq 0 \\ x \geq -4 \\ LHS < RHS \end{cases}$

Dato che $x \geq \frac{1}{2} \geq 0 \geq -3 \geq -4$ soddisfa tutte le condizioni di esistenza, questa è la condizione di esistenza per tutti i radicandi, quindi mi resta

$\begin{cases} x \geq \frac{1}{2}\\ LHS < RHS \end{cases}$

Eleviamo al quadrato:

$2x-1+x+3+2\sqrt{(2x-1)(x+3)}<2x+x+4\sqrt{2x(x+4)}$

$\sqrt{(2x-1)(x+3)} < \sqrt{2x(x+4)}+1$

(ho portato i prodotti di radici sotto una sola radice.)

Per lo stesso motivo di prima, possiamo elevare direttamente al quadrato perché la radice è sempre positiva o nulla, mentre $1$ è positivo, quindi la somma sarà un numero positivo.

$(2x-1)(x+3)<2x(x+4)+1+2\sqrt{2x(x+4)}$

$-3x-4<2\sqrt{2x(x+4)}$
$2\sqrt{2x(x+4)} > -3x-4$

Risolviamo con il metodo classico:

Ricordiamo già da prima che non è necessario stabilire nuove condizioni di esistenza, perché se le radici esistevano prima per $x \geq \frac{1}{2}$ sicuramente esistono anche ora, non avrebbe senso trovare la "nuova" condizione di esistenza per poi scartarla in favore di quella vecchia, quindi poniamo:

$\begin{cases} x \geq \frac{1}{2} \\ -3x-4 <0 \\ \forall x \in \mathbb{R} \end{cases}$

$\begin{cases} x \geq \frac{1}{2} \\ x > -\frac{4}{3} \\ \forall x \in \mathbb{R} \end{cases}$

$x \geq \frac{1}{2}$ è la soluzione del primo sistema, vediamo il secondo:

$\begin{cases} x \geq \frac{1}{2} \\ -3x-4 \geq 0 \\ 2\sqrt{2x(x+4)} > -3x-4 \end{cases}$

$\begin{cases} x \geq \frac{1}{2} \\ x \leq -\frac{4}{3} \\ 2\sqrt{2x(x+4)} > -3x-4 \end{cases}$

Come vedi abbiamo una contraddizione: $x \geq \frac{1}{2} \land x \leq -\frac{4}{3}$ è impossibile, quindi la soluzione al sistema è l'insieme vuoto $\emptyset$. La soluzione al primo sistema era $x \geq \frac{1}{2}$, quindi $[\frac{1}{2}, +\infty[ \cup \emptyset = [\frac{1}{2}, + \infty[$.

In definitiva, la soluzione è $x \in [\frac{1}{2}, + \infty[$, o se preferisci $x \geq \frac{1}{2}$.

Come vedi da questo grafico, il primo membro originale è sempre maggiore del secondo quando entrambi esistono, non potendo saperlo a priori (potevamo intuirlo sapendo che $2x-1$ è sempre minore di $2x$ e $x+4$ è sempre maggiore di $x+3$, quindi la differenza tra le prime due radici è sempre maggiore, ma questo approccio, seppur celere e ingegnoso, è poco rigoroso, quindi non ho fatto questa osservazione) abbiamo dovuto procedere per vie traverse per arrivare alla stessa soluzione.