[Risolto] Esercizio di probabilità

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Inizialmente abbiamo U = 2b + 2n

se viene estratta una pallina bianca [Pr(b) = 2/4 = 1/2] risulterà U' = (2b + 2n)

perché la bianca sarà sostituita da una anch'essa bianca e non cambierà nulla.

Se viene estratta una pallina nera [Pr(n) = 2/4 = 1/2] , la sua sostituzione con una bianca

porterà invece alla configurazione descritta da U'' = (3b + 1n).

Quindi, per la formula della Probabilità Totale,

Pr [Pf = b ] = Pr [Pf = b | U' ] * Pr [U'] + Pr [Pf = b | U'']*Pr [U''] =

= 2/4 * 1/2 + 3/4 * 1/2 = 2/8 + 3/8 = 5/8.

Saper ragionare sulle situazioni proposte dovrebbe valere di più del rammentare e/o riconoscere formule, specie nei casi in cui ci si trova a dover dire "non capisco perché ...".
A far finire una formula sui libri di testo fu lo studio di qualcuno che ragionava sulle situazioni.
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La narrativa descrive un sistema {stato → mossa → nuovo stato} e la richiesta è quella di valutare la probabilità di uno o più stati particolari.
Dallo stato iniziale {0: BBNN} la mossa "estrarre" può condurre, con eguali probabilità (1/2), ad uno degli stati {1b: BNN | B} oppure {1n: BBN | N}.
La mossa "sostituire" conduce, con certezza, a uno stato che dipende dal precedente
{1b: BNN | B} → {2b: BBNN} oppure {1n: BBN | N} → {2n: BBBN}.
Ovviamente entrambi gli stati {2} hanno eguale probabilità (1/2)*1 = 1/2.
La nuova mossa "estrarre" può dar luogo agli stati elencati di seguito ciascuno col la sua probabilità a fianco
{2b: BBNN} → {1b: BNN | B} [p(1b) = (1/2)*1/2 = 1/4];
{2b: BBNN} → {1n: BBN | N} [p(1n) = (1/2)*1/2 = 1/4];
{2n: BBBN} → {3nb: BNN | B} [p(3nb) = (1/2)*3/4 = 3/8];
{2n: BBBN} → {3nn: BBB | N} [p(3nn) = (1/2)*1/4 = 1/8].
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L'ultima estratta è una pallina bianca se lo stato finale è in {1b, 3nb}.
Quondi la probabilità richiesta risulta valere
* p(1b) + p(3nb) = 1/4 + 3/8 = 5/8