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[Risolto] considera la funzione di equazione f(x)= e^x +1 / e^x+x. a) traccia il grafico di y=f(x), tralasciando lo studio di y".b)calcola l'area della regione di piano contenuta nel piano quadrante, i cui punti hanno coordinate (x,y) soddisfacenti la condi...

  

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considera la funzione di equazione f(x)= e^x +1 / e^x+x. a) traccia il grafico di y=f(x), tralasciando lo studio di y".b)calcola l'area della regione di piano contenuta nel piano quadrante, i cui punti hanno coordinate (x,y) soddisfacenti la condizione : f(x) minore o uguale a y minore o uguale a 1.

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3 Risposte
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f(x) = (e^x+1)/(e^x+x)

a)

  • Dominio.

Essendo una funzione trascendente di tipo esponenziale fratta occorre che il denominatore non si annulli. Per via grafica, senza introdurre la funzione di Lambert, si può verificare che 

e^x +x = 0 ammette una sola soluzione per x ≈ -0,57 soluzione che indicheremo con α.

Dominio = ℝ \ {x | e^x+x=0}

  • limiti

i) lim(x→-oo) f(x) = 0

questo rivela la presenza di un asintoto orizzontale sinistro di equazione y=0

ii) lim(x→+oo) f(x) = 1

questo rivela la presenza di un asintoto orizzontale destro di equazione y=1

iii) lim(x→αˉ) f(x) = -∞

iv) lim(x→α⁺) f(x) = +∞

siamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x= α

  •    Segno di f(x)

f(x) < 0 in (-∞,α)f(x) = 0 per x=α

f(x) > 0 in (α,+oo)

  • Estremi relativi

-) derivata prima f'(x) = [(x-2)e^x-1]/(e^x+x)²-) punti stazionari f'(x) = 0 

(x-2)e^x-1 = 0

Come in precedenza dichiariamo un valore approssimato per l'unica soluzione

x ≈ 2,12 che indicheremo con x=β

-) Segno derivata prima

f'(x) < 0 in (-oo,α) U (α,β). In questi due intervalli la funzione è separatamente decrescente.

f'(x) = 0 per x=β

f'(x) > 0 in (β,+oo). In questo intervallo la funzione è crescente.

-) minimo relativo. 

Il punto x=β è un punto di minimo relativo, infatti la funzione decresce a sinistra mentre cresce alla sua destra.

Grafico: https://www.desmos.com/calculator/cxqxxsqcst

 

b) Non mi è chiaro quale sia l'intervallo di integrazione.

f(x) ≤ y ≤ 1 

 

 

 

 

@cmc e, p.c., @Sebastiano e @SoSmatematica
Cara "cmc" (uso il femminile di rispetto quando il sesso non sia desumimile dallo pseudonimo) sono stato a un filo dal clickarti un voto negativo e mi ha trattenuto solo il secondo sottofirma (5+ post) che ti dà per nuova arrivata in quest'orgia di domande mal poste e peggio scritte.
Io sono convinto, e vorrei che ci pensassi tu pure, che quanto più i responsori si saranno dati da fare per interpretare l'inespresso tanto più i richiedenti si abbandoneranno alla peggiore sciatteria espressiva ("tanto un fesso di responsore che mi capisce al volo, dici che non lo trovo?").
Sostengo che sia più utile per la buona salute del sito e più istruttivo per i richiedenti NON INTERPRETARE NULLA, leggere la domanda verbatim e rispondere esclusivamente a ciò che si legge.
Se leggo "traccia il grafico" io traccio il grafico, non impianto uno studio di funzione e (per sovrappiù!) di una funzione che non è quella presentata.
Scusami se t'ho criticato, ma ci terrei a frequentare un sito trattato bene da tutti.




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una bella lettura del Regolamento credo sia necessaria, così come imparare a scrivere le espressioni matematiche senza la lasciare dubbi.

Per come ha scritto la funzione tu, io (e qualunque matematico) la interpreta come:

$f(x)=e^x+\frac{1}{e^x}+x$

mentre molto probabilmente tu volevi scrivere, come ha interpretato @cmc

$f(x)=\frac{e^x+1}{e^x+x}$

Se è giusta la seconda interpretazione, avresti dovuto NECESSARIAMENTE scrivere

(e^x+1)/(e^x+x)

Per me è un errore gravissimo, che mette in luce l'approssimazione con cui ti approcci ai problemi e in generale alla matematica

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a) traccia il grafico di y=f(x), tralasciando lo studio di y".
Mi pare di patente banalità che non occorra affatto dire di tralasciare lo studio della derivata seconda: una qualunque persona NON MASOCHISTA sa benissimo che non occorre alcuno studio per obbedire al semplicissimo comando "traccia il grafico di y=f(x)". Vedere per credere
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5Bx*y%3D0%2C+y%3De%5Ex+%2B1+%2F+e%5Ex%2Bx%5Dx%3D-5to5%2Cy%3D-1to88
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b) Se il punto "a" definisce "y = f(x)" allora la condizione del punto "b"
* "f(x) minore o uguale a y minore o uguale a 1" ≡
≡ f(x) <= y <= 1
vuol dire semplicemente
* y <= 1
e "la regione di piano ... soddisfacenti la condizione" significa la striscia
* (0 <= x) & (0 <= y <= 1)
e, ovviamente, l'area di tale striscia illimitata a destra è infinita.






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