Si considerino due urne A e B. La prima urna ha 10 palline di cui 2 rosse e 8 bianche. La seconda urna ha 10 palline rosse e 10 bianche. Si estrae una pallina da una delle urne scelta a caso e la si inserisce nell’altra. Si estraggono poi due palline dall’urna A.
Si calcoli la probabilità che entrambe le palline estratte siano bianche nell’ipotesi in cui ci sia un’estrazione con re-immissione
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Livello 0
Quando la probabilità mi piacerà pioveranno pecore del cielo...
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Livello 3
Devi calcolare nei due casi la nuova composizione delle due urne dopo l'estrazione.
Se viene scelta A ed esce una rossa (1/2*1/5) le due urne si trovano con (1,8) e (11,10)
La probabilità di estrarre due bianche e'
8/9"8/9
e 64/81*1/10 =64/810
In modo analogo gli altri tre casi e infine fai la somma.
(Ar) 1/2 * 1/5 = (1/10) (1,8) 8/9 * 8/9
(Ab) 1/2 * 4/5 = 2/5 (2,7) 7/9 * 7/9
(Br) 1/2 * 1/2 = 1/4 (3,8) 8/11 * 8/11
(Bb) 1/2 * 1/2 = 1/4 (2,9) 9/11 * 9/11
Pr [E*] = 1/10 * 64/81 + 2/5 * 49/81+ 1/4 * 64/121 + 1/4 * 81/121 =
= 64/810 + 98/405 + 16/121 + 81/484 =
= (64+196)/810 + (64+81)/484 =
= 26/81 + 145/484 ~ 0.62
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Livello 7
Nella figura di sopra è riportata la 1^ fase di estrazione. Nella seconda fase l'urna A cambia composizione. Tutte le composizioni possibili sono le seguenti nell'urna A:
Viene aggiunta una pallina rossa estratta dall'urna B: (p=10/40)
(3 Ro , 8 Bi)
Viene tolta una pallina rossa se si estrae dall'urna A: (p=2/20)
(1 Ro, 8 Bi)
Viene aggiunta una pallina bianca estratta dall'urna B:(p=10/40)
(2 Ro, 9 Bi)
Viene tolta una pallina bianca se si estrae dall'urna A: (p=8/20)
(2 Ro, 7 Bi)
Quindi, in questa seconda fase di due estrazioni con re-immissione, la probabilità richiesta vale:
10/40·(8/11)·(8/11) + 2/20·(8/9)·(8/9) + 10/40·(9/11)·(9/11) + 8/20·(7/9)·(7/9) = 0.6206=62.06%
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Genius III
