An unbiased die is successively rolled. Let $X$ and $Y$ denote, respectively, the number of rolls necessary to obtain a six and a five. Find (a) $E[X]$, (b) $E[X \mid Y=1]$, (c) $E[X \mid Y=5]$.
buongiorno a tutti. Non capisco come trovare il valore atteso essendo la moneta non equa.. Come si fa?
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Livello 2
X = n. di lanci necessari per ottenere un 6. "Unbiased" vuol dire equilibrato
Pr [esce 6] = p = 1/6
Pr [ occorrono n lanci per avere un 6 ] = q^(n-1)*p con p = 1/6
Questa é una distribuzione geometrica e la sua media é 1/p = 6.
L'interpretazione da dare alle altre domande non é molto chiara.
Il risultato intuitivo che E [X|Y = 1] = 7 può essere rigorosamente dimostrato.
Al primo lancio esce 5 e poi parte una nuova serie per cui E[X'] = 6 : 1 + 6 = 7.
L'altro caso é molto più elaborato e non l'ho portato a termine. se Y = 5
Pr [X = x] = (4/5)^(x-1)*1/5 per x < 5, 0 per x = 5
e (5/6)^(x-5)*1/6 se x > 5
Di questo si deve prendere la media e così
E[X|Y = 5] = Somma _k:1->4 k * (4/5)^(k-1)*1/5 +
+ (4/5)^4 * 1* Somma_k:6->+oo k*(5/6)^(k-6)*1/6.
Se non ho commesso errori di calcolo, il risultato di questa somma é 3637/625 = 5.8192.
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Livello 7
