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[Risolto] Esercizio di probabilità

  

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Buongiorno. Ho provato a svolgere quest’esercizio. Ma non so come finire. Ho preso la strada giusta o sto sbagliando tutto? 
grazie a chi risponderà!

 

Esercizio 2. Si considerino $Y_1$ e $Y_2$ con densità congiunta
$$
f_{Y_1, Y_2}=\left\{\begin{array}{lc}
8 y_1 y_2 & 0 \leq y_1<y_2 \leq 1 \\
0 & \text { altrimenti. }
\end{array}\right.
$$
Calcolare la densità di $U=Y_2-Y_1$.

 

301DF92B D42E 455F B109 24A916C329A7
811F389C 3A5C 4961 91A9 256B8520472C
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Posso darti una impostazione 

U = Y2 - Y1 

Pr [ U <= u ] = Pr [ Y2 <= Y1 + u ] = Pr [ Y2 <= min(y1 + u, 1), 0 <= Y1 <= 1 ] 

Quindi l'intervallo [0,1] su y1 va diviso in due parti 

y1 + u <= 1 =>   y1 <= 1 - u      ( 0 <= y1 <= 1 - u ) 

y1 + u > 1 =>      y1 > 1 - u         ( 1 - u < y1 <= 1 ) 

 

per cui 

FU(u) = 8  [S_[0, 1-u] S_[y1, y1 + u] y1 y2 dy2 dy1 + S_[1-u, 1] S_[y1, 1] y1 y2 dy2 dy1 ] 

 

fU(u) = 8 d/du [ S_[0,1-u] y1  (S_[y1, y1 + u] y2 dy2) dy1 + S_[1-u,1] y1 (S_[y1,1] y2 dy2) dy1

 

Non proseguo i calcoli, perché potrei commettere degli errori. Penso che tu sia in grado di terminare.

 

Il risultato che viene a me é fU(u) = 4/3 * (u^3 - 3u+ 2) con 0 <= u <= 1 e ho indizi 

che potrebbe essere corretto.




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