Buongiorno. Ho provato a svolgere quest’esercizio. Ma non so come finire. Ho preso la strada giusta o sto sbagliando tutto?
grazie a chi risponderà!
Esercizio 2. Si considerino $Y_1$ e $Y_2$ con densità congiunta
$$
f_{Y_1, Y_2}=\left\{\begin{array}{lc}
8 y_1 y_2 & 0 \leq y_1<y_2 \leq 1 \\
0 & \text { altrimenti. }
\end{array}\right.
$$
Calcolare la densità di $U=Y_2-Y_1$.
365
punti
Livello 2
Posso darti una impostazione
U = Y2 - Y1
Pr [ U <= u ] = Pr [ Y2 <= Y1 + u ] = Pr [ Y2 <= min(y1 + u, 1), 0 <= Y1 <= 1 ]
Quindi l'intervallo [0,1] su y1 va diviso in due parti
y1 + u <= 1 => y1 <= 1 - u ( 0 <= y1 <= 1 - u )
y1 + u > 1 => y1 > 1 - u ( 1 - u < y1 <= 1 )
per cui
FU(u) = 8 [S_[0, 1-u] S_[y1, y1 + u] y1 y2 dy2 dy1 + S_[1-u, 1] S_[y1, 1] y1 y2 dy2 dy1 ]
fU(u) = 8 d/du [ S_[0,1-u] y1 (S_[y1, y1 + u] y2 dy2) dy1 + S_[1-u,1] y1 (S_[y1,1] y2 dy2) dy1
Non proseguo i calcoli, perché potrei commettere degli errori. Penso che tu sia in grado di terminare.
Il risultato che viene a me é fU(u) = 4/3 * (u^3 - 3u+ 2) con 0 <= u <= 1 e ho indizi
che potrebbe essere corretto.
48858
punti
Livello 7
