Esercizio di probabilità

provo a darti qualche indicazione, forse non è molto chiaro il problema.

La prima domanda immagino voglia dire che in esattamente 10 lanci ho 4 volte il 6.

Ma visto che, come dice il problema mi fermo quando ho ottenuto 4 volte il 6, è naturale pensare che l'ultimo 6 debba uscire nell'ultimo lancio, cioè nel decimo.

Quindi per quanto riguarda la prima domanda devo calcolare la probabilità che escano 3 volte 6 nei primi 9 lanci e poi moltiplicarla alla probabilità che al 10 esca il 6 per forza.

 Il 6 può uscire nei lanci numero

1  2  3  10

1  2  4  10

1  2  5  10

...........

...........

7  8  9  10

Come si può vedere sono 3 oggetti distribuiti in 9 posti. Binomiale(9|3) = 84

Se pongo A = 1/6  Probabilità che esca 6    e     B = 5/6   Probabilità che non esca il 6

ottengo per la prima domanda questa espressione

(A^3*B^6*A)*84 = 2.1%

 

La seconda domanda è più ambigua.  Il numero 6 come qualsiasi altro numero, può anche non uscire mai, o uscire solo dopo un numero imprecisato di lanci.  Quello che è certo è che per avere la sicurezza al 100% che un certo numero esca i lanci dovrebbero tendere all'infinito.

 

L'ultima domanda invece è simile alla prima, con la differenza che il sei oltre che nella ovvia 10 posizione, deve essere che nella sesta. Il binomiale quindi, va calcolato di due oggetti in 8 posizioni, Bin(8|2) = 28.

@alessandra_12

Ciao di nuovo. 

La probabilità richiesta tenendo conto dell'ultimo successo è pari a:

Ρ = COMB(9, 3)·(1/6)^3·(5/6)^6·(1/6)-------> Ρ = 84·(1/216)·(15625/46656)·(1/6)

Ρ = 0.02170635034-------> P =2.17%

 

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La terza è analoga alla prima:

COMB(8, 2)·(1/6)^2·(5/6)^6·(1/6)·(1/6) =0.007235450113 = 0.72% circa

1) Pr [ 10 lanci ] = Pr [ 3 sei in 9 lanci e sei al decimo ] =

= C(9,3) * (1/6)^3 * (5/6)^6 * 1/6 = circa 0.0217

2) La media di una variabile binomiale negativa ---

che specifica il tempo di k-mo successo --- é k/p = 4 * 1/(1/6) = 24

Ulteriori informazioni sulla distribuzione binomiale negativa (greelane.com)

 

3) La terza domanda vuole che terzo e quarto successo si verifichino al

nono e decimo lancio. Due fra i primi 8, uno e uno

C(8,2)*(1/6)^2*(5/6)^6 * 1/6 * 1/6 = 7.24 * 10^(-3)

"dado equo" (cubico, si spera!) vuol dire
* probabilità di successo p = 1/6
* probabilità d'insuccesso q = 5/6
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Il numero di combinazioni di classe k fra n oggetti è
* C(n, k) = n!/(k! * (n - k)!)
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La distribuzione binomiale (bernoulliana) dà la probabilità P(k, n) di k successi su n lanci in funzione delle due probabilità complementari p e q sul singolo lancio
* P(k, n) = C(n, k)*(p^k)*q^(n - k)
che, coi valori del dado equo, diventa
* P(k, n) = C(n, k)*5^(n - k)/6^n
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RISPOSTE AI QUESITI
"fino a che non si ottiene 4 volte il numero 6" vuol dire che il quarto sei esce all'ultimo lancio perciò n indica il penultimo e la funzione d'interesse per i due primi quesiti è quella per tre successi moltiplicata per 1/6, cioè la probabilità di centrare l'ultimo lancio
* P(3, n)/6 = C(n, 3)*5^(n - 3)/6^(n + 1)
di cui si vede l'andamento al link
https://www.wolframalpha.com/input?i=plot%5By%3DC%28n%2C3%29*5%5E%28n-3%29%2F6%5E%28n%2B1%29%2C%7Bn%2C1%2C99%7D%5D
mentre per il terzo quesito è quella per due successi moltiplicata per (1/6)^2, cioè la probabilità di centrare gli ultimi due lanci
* P(2, n)/6^2 = C(n, 2)*5^(n - 2)/6^(n + 2)
di cui si vede l'andamento al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=plot%5By%3DC%28n%2C2%29*5%5E%28n-2%29%2F6%5E%28n%2B2%29%2C%7Bn%2C1%2C99%7D%5D
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"Qual `e la probabilit`a di fare esattamente 10 lanci?" (n = 9)
* P(3, 9)/6 = C(9, 3)*5^(9 - 3)/6^(9 + 1) =
= 109375/5038848 ~= 0.0217 = 2.17%
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"Qual `e la probabilit`a di finire in 10 lanci e con il 6 in nona e decima posizione?" (n = 8)
* P(2, 8)/6^2 = C(8, 2)*5^(8 - 2)/6^(8 + 2) =
= 109375/15116544 ~= 0.007235 = 0.73% << P(3, 9)/6
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"Quanti lanci si faranno in media?"
* m(n) = (Σ [x = 1, n] (C(n, 3)*5^(n - 3)/6^(n + 1)))/(n + 1) =
= (5^(n - 3)/6^(n + 2))*(n - 2)*(n - 1)*n^2/(n + 1)
* lim_(n → ∞) m(n) = 0
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Dove sarà mai la cavolata? Ultimamente me ne scappano troppe, chiedo scusa.