Esercizio di probabilità

Per me é difficile. Ti posso dare una indicazione, non prometto il risultato ma potrei rimettermici più tardi. 

Questo é un processo stocastico finito. 

La partita viene sicuramente annullata se si verifica E1 = "il primo che riceve la mano non ha né 1, né 2, né 3"

e Pr [E1] = C(40 - 3*4, 10)/C(40,10) = C(28,10)/C(40,10) = 0.015482

oppure E1' E2 = (1 - Pr [E1))*Pr [E2/E1'] 

( il primo non fa annullare la partita e il secondo sì) 

oppure E1'E2'E3

oppure E1'E2'E3'E4

 

e queste quattro probabilità vanno sommate.

Il problema é che le probabilità successive dipendono da quello che é accaduto in precedenza. Da qui la difficoltà di calcolo. 

Mi spiego meglio : per il secondo (essendo 12 le carte utili) 

si dovrebbe calcolare Pr [ il secondo ne riceve 0 | il primo ne riceve i ] ( separare l'evento già considerato 

complessivamente ) e poi applicare la probabilità totale.

Avresti quindi, fino a questo punto 

 

C(28,10)/C(40,10) + Somma_k:1->10   C(12-k,0)*C(18+k,10)/C(30,10) * C(12,k)C(28-k)/C(40,10)

e poi si dovrebbe proseguire.

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Se supponiamo che le carte vengano assegnate contemporaneamente ( una ad A, una a B, una a C, una a D 

e poi si ripete il giro ) forse si può fare un altro ragionamento. 

Hai 12 oggetti indistinguibili AI FINI DEL PROBLEMA ( quattro assi, quattro 2 e quattro 3)

Ci sono C(12 + 4 - 1, 4 - 1) = C(15,3) = 455 modi di distribuirli in 4 scatole e 

C(12 - 4 + 4 - 1, 4 - 1) = C(11,3) = 165 modi di metterli in 4 scatole in modo che nessuna 

sia vuota ( ho sottratto 4 dal primo termine perché ne ho messo uno in ogni scatola e ragiono solo 

sui restanti ) 

Per cui Pr [ annullare la partita ] = 1 - 165/455 = 1 - 33/91 = 58/91 = 0.6374

 

Nota. Quello che non mi convince di questo svolgimento é che non si tiene proprio conto del fatto che le carte sono 40. A parte che il 64% mi sembra fuori scala perché altissimo. Farò un altro tentativo.

un bel esercizio..........

Voglio almeno cominciarlo. Questo è il mio ragionamento nel caso che solo un giocatore non abbia nessuna carta.

Le carte con asso, con due e con il tre formano un totale di 12 carte. Quindi su un totale di 40 carte si chiede che nella distribuzione un giocatore non ne riceva nemmeno una. Questo è simile ad avere 12 palline bianche e 28 nere e chiedere che nell'estrazione casuale senza reinbussolamento, vengano estratte solo palline nere.

E' un prodotto di frazioni con 10 fattori  28/40*27/39*26/38..........19/31

Questo può essere distribuito in 4 giocatori quindi va moltiplicato per 4.

il problema però chiede che ALMENO UNO dei giocatori sia senza assi 2 o 3.

Un'analisi del gioco  fa capire che il numero di giocatori che possono essere senza assi, senza 2, senza 3 sono solo 2. questo perchè essendo le carte in questione in numero di 12 un altro giocatore deve averne almeno 2. Quindi quelli senza restano 2 al massimo.

Basta analizzare ancora questo caso e sommarlo al primo.

E' molto simile al al precedente, con la differenza che adesso le estrazioni devono essere 20, non più 10 ed inoltre siccome ci sono 2 giocatori su quattro l'evento può essere distribuito in 6 modi differenti (coefficente binomiale ).

 

Ma è orribile e contrario alle regole! Così si deprime radicalmente la probabilità dell'accuso che è la cosa che rende appassionante il tressette. Ma allora tanto vale che giochino a scopetta o a rubamazzetto. Sarebbe come giocare a scopone con la convenzione che l'ultima presa non fa scopa. Un'assurdità!

Vedi se ti convince questo ragionamento. 

 

La probabilità che il gruppo di 12 carte su 40 ( assi, 2 e 3) 

sia distribuito in k1, k2, k3, k4 é 

C(10,k1)*C(10,k2)*C(10,k3)*C(10,k4) / C(40,12) 

La probabilità che al primo non capiti nessuna carta fra quelle indicate é 

C(10,0)*C(10,k2) * C(10,k3)*C(10,k4) / C(40,12) 

la probabilità che capiti solo a 1 giocatore é 4 volte questa 

(k2 + k3 + k4 = 12 e tutti sono almeno 1 )

 

Poi bisogna sottrarre, per non contarla doppia se consideri "almeno uno", 

C(4,2) = 6 volte la probabilità che capiti al primo e al secondo di non avere quelle carte.

Come diceva un altro utente, non può accadere a più di due giocatori di non averle, 

perché se due non le hanno, quindi al termine di 20 carte, non basta dane 10 al terzo

per lasciarne il quarto sprovvisto. 

Pertanto quello che devi calcolare é 

 

4 * Somma(h1,h2,h3) C(10,h1)*C(10,h2)*C(10,h3) / C(40, 12) +

- 6 Somma (k1,k2) C(10,k1)*C(10,k2) / C(40,12) 

 

in cui (h1,h2,h3) assume i seguenti valori 

(10,1,1)    3 volte

(9,2,1)      6 volte

(8,3,1)      6 volte 

(8,2,2)      3 volte 

(7,4,1)      6 volte

(7,3,2)      6 volte

(6,5,1)      6 volte

(6,4,2)      6 volte

(6,3,3)      3 volte

(5,5,2)      3 volte

(5,4,3)      6 volte

(4,4,4)      1 volta 

e (k1,k2) 

 

(2,10)      2 volte

(3,9)        2 volte

(4,8)        2 volte

(5,7)        2 volte

(6,6)        1 volta

 

 

Della validità di questo procedimento sono sicuro e si può implementare su Excel.

Quello che non so é se c'é un modo più rapido.

 

Excel & C. danno 0.0615

 

 

 

SECONDA RISPOSTA
La probabilità che la partita venga annullata e quella che, dei dodici onori presenti,
* uno ne riceva dieci dalle 40 carte
oppure che
* uno ne riceva nove dalle 40 carte e un altro tre dalle 30 rimanenti
oppure che
* uno ne riceva nove dalle 40 carte e un altro due dalle 30 rimanenti
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che uno ne riceva dieci dalle 40 carte
* (12/40)*(11/39)*(10/38)*(9/37)*(8/36)*(7/35)*(6/34)*(5/33)*(4/32)*(3/31) =
= Π [k = 0, 9] (12 - k)/(40 - k) =
= 3/38530024
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che uno ne riceva nove dalle 40 carte ...
* (12/40)*(11/39)*(10/38)*(9/37)*(8/36)*(7/35)*(6/34)*(5/33)*(4/32) =
= Π [k = 0, 8] (12 - k)/(40 - k) =
= 1/1242904
------------------------------
... e un altro tre dalle 30 rimanenti
* (1/1242904)*(3/31)*(2/30)*(1/29) = 1/5586853480
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... e un altro due dalle 30 rimanenti
* (1/1242904)*(3/31)*(2/30) = 1/192650120
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TOTALE = 3/38530024 + 1/5586853480 + 1/192650120 =
= 3/36044216 ~= 83.23/10^9
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AIUTO, non ci credo!
Se s'annulla una mano ogni dieci milioni il mio scandalo della prima risposta era sprecato.
Questa modifica alle regole rientrerebbe nella categoria dei "Con la quale o senza la quale si rimane tale e quale".
Chi sa che ho cannato, boh!