esercizio di matematica n. 3, potete aiutarmi?

da Wolframalpha

da Wolframalpha

y = √(x - √(6·x - 8))

Svolgimento:

{6·x - 8 ≥ 0

{x - √(6·x - 8) ≥ 0

quindi:

{(6·x - 8) ≤ x^2

{x ≥ 4/3

soluzione:

4/3 ≤ x ≤ 2 ∨ x ≥ 4

---------------------------------

y = √((4 - x)/(x^2 - 2·x)) + √(x + 12 - x^2)

Svolgimento:

{(4 - x)/(x^2 - 2·x) ≥ 0

{x + 12 - x^2 ≥ 0

quindi:

{x < 0 ∨ 2 < x ≤ 4 

{-3 ≤ x ≤ 4

soluzione:

[-3 ≤ x < 0, 2 < x ≤ 4]

PUNTO A

Il dominio della radice funziona che dobbiamo porre il radicando maggiore uguale a 0

Sotto la radice abbiamo x-√(6x-8), quindi lo poniamo maggiore uguale a 0

Però sotto la prima radice abbiamo una seconda radice che contiene 6x-8 e anch'esso lo dobbiamo porre maggiore uguale a 0

Quindi si forma un sistema:

Dalla seconda disequazione (6x-8>=0) si può svolgere velocemente 

6x >= 8

x >= 8/6

X >= 4/3

E dalla seconda disequazione otteniamo questo grafico:

Adesso passiamo alla prima disequazione (x-√(6x-8) >= 0)

Spostiamo la radice al secondo membro e eleviamo alla seconda 

X >= √(6x-8)

X² >= 6x -8

x² -6x +8 >= 0

Prendiamo l'equazione associata, quindi uguale a 0

x² -6x +8 = 0

È possibile scomporlo in questo modo:

(X+a)(X+b) In modo tale che la somma faccia il coefficiente di primo grado (a+b = -6) e il loro prodotto il termine noto (a*b = 8)

Ad occhio notiamo che i numeri sono -4 e -2

-4 -2 = -6

(-4)(-2)=8

Quindi l'equazione di secondo grado si scompone in:

(X-4)(X-2) = 0

In modo tale che il prodotto tra questi 2 termini faccia 0, le soluzioni che possiamo ottenere sono due:

x-4 = 0 ----> x = 4

x-2 = 0 ----> x = 2

La disequazione chiedeva di essere maggiore uguale a 0, quindi si prendono i valori esterni ai risultati ottenuti ,estremi compresi, (x <= 2 e x >= 4) ottenendo il secondo grafico:

Ciò che bisogna fare è unire i grafici senza le parti tratteggiate e in ordine crescente naturalmente e vedere le parti dove hanno le soluzioni comuni:

Guardando il grafico, noterai che le soluzioni comuni sono:

4/3 <= x <= 2

Oppure

X >= 4

PUNTO B:

Abbiamo una somma di 2 radici

Nella prima radice abbiamo (4-x)/(x²-2x)

Nella seconda radice abbiamo -x²+x+12

Dato che stanno dentro le radici, come abbiamo fatto nel primo esercizio, dobbiamo fare un sistema e porre entrambe maggiore uguale a 0:

Iniziamo dalla seconda disequazione che è più semplice 

-x²+x+12 >= 0

Il coefficiente di secondo grado lo rendiamo positivo per facilitare un po' il processo, quindi moltiplichiamo tutto per -1 ricordando però che cambiando i segni cambia il segno della disequazione diventando:

x² -x -12 <= 0

Prendiamo l'equazione associata 

x² -x -12 = 0

Scomponiamola come abbiamo fatto precedentemente in modo tale che la somma di due numeri faccia il coefficiente di primo grado (a+b = -1) e il prodotto il termine noto (a*b = -12)

Notiamo che i numeri che cerchiamo sono -4 e +3

-4 +3 = -1

3(-4) = -12

Quindi la scomposizione sarà:

(x-4)(x+3) = 0

Per fare sì che il prodotto faccia 0, le soluzioni sono:

X-4 = 0 ----> x = 4

x+3 = 0 ----> x = -3

La disequazione chiedeva di essere <= 0 (all'inizio era maggiore uguale a 0, ma ricordiamo che abbiamo cambiato tutti i segni per facilitare il percorso)

Per definizione (per fare sì che la disequazione venga minore uguale a 0) prendiamo i valori interni sempre in ordine crescente (estremi compresi) ottenendo il primo grafico del secondo esercizio (-3 <= x <= 4):

Adesso possiamo passare all'altra disequazione

(4-x)/(x²-2x) >= 0

Notiamo che è una disequazione fratta dato che l'incognita x si trova sia al numeratore che al denominatore.

In questo caso tiriamo fuori un secondo sistema dove poniamo il numeratore maggiore uguale a 0 e il denominatore solamente maggiore di 0 (ricordiamoci che in una frazione, il denominatore non può mai essere 0)

Il numeratore è abbastanza semplice 

4-x >= 0 

-x >= -4

Cambiamo i segni 

x <= 4

Ora passiamo al denominatore 

x²-2x > 0

Dato che è disequazione di secondo grado, prendiamo equazione associata:

X² -2x = 0

Raccogliamo x

x (x-2) = 0

Per fare sì che il prodotto venga 0, le soluzioni che otteniamo sono:

x = 0

x-2 = 0 ---> x = 2

Dato che il denominatore doveva essere maggiore di 0, prendiamo i valori esterni, sta volta estremi esclusi perché non è maggiore uguale, ma solo maggiore 

x < 0 e x > 2 che insieme al numeratore x <= 4 si ottiene l'altro grafico (dato che stiamo trovando i valori per un unica frazione, sta volta si farà pure la risoluzione dei segni): 

Ora abbiamo tutti e 2 i grafici del secondo esercizio:

Adesso uniamo i grafici senza le parti tratteggiate e vediamo gli elementi comuni:

Gli elementi comuni sono 

-3 <= x < 0

Oppure

2 < x <= 4