Buonasera a tutti, potreste aiutarmi con questo esercizio?
Dimostra che la tangente in un punto $P$ di una parabola $y=a x^2$ divide in due parti, una tripla dell'altra, il rettangolo che ha per vertici il vertice della parabola, il punto $P$ e le sue proiezioni sugli assi cartesiani e verifica la proprietà con un esempio.
Grazie in anticipo!
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Livello 0
Ciao e benvenuta: esempio grafico
Consideriamo un punto sulla parabola data del 1° quadrante:
y = a·x^2-----> P [η, a·η^2] con η > 0
Ne consegue che l'area descritta dal testo debba valere:
Α = η·(a·η^2)------> Α = a·η^3
Quindi determiniamo la retta tangente applicando le formule di sdoppiamento nel punto P:
(y + a·η^2)/2 = a·(η·x)
quindi retta tangente: y = 2·a·η·x - a·η^2
Determiniamo quindi l'intersezione con asse delle x:
{y = 2·a·η·x - a·η^2
{y = 0
otteniamo: [x = η/2 ∧ y = 0]
Tale retta divide il rettangolo in un trapezio ed un triangolo (rettangoli entrambi)
Il trapezio ha area:
A(trapezio) = 1/2·(η + η/2)·(a·η^2)-----> A (trapezio) = 3·a·η^3/4
Il triangolo ha area:
Α (triangolo)= a·η^3 - 3·a·η^3/4----> Α (triangolo) = a·η^3/4
Il rapporto fra le due aree vale:
(3·a·η^3/4)/(a·η^3/4) = 3
come si voleva dimostrare.
L'esempio in figura mostra il caso per a=1 e punto P(3,9)
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Genius II
