Si stabilisca per quali valori reali di $a$ e $b$ si ha:
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{a+b x}-2}{x}=1
$$
Si stabilisca per quali valori reali di $a$ e $b$ si ha:
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{a+b x}-2}{x}=1
$$
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Livello 0
Poniamo (per x ≠ 0) f(x) = [√(a + b x) - 2]/x;
applichiamo il metodo della "razionalizzazione a rovescio":
f(x) = [√(a + b x) - 2] [√(a + b x) + 2] / {x [√(a + b x) + 2]} =
(a + b x - 4) / {x [√(a + b x) + 2]}.
Dato che il limite è finito, dovrà essere a = 4, quindi
f(x) = b x / {x [√(4 + b x) + 2]} = b / [√(4 + b x) + 2].
Dovendo essere
lim (x > --> 0) b / [√(4 + b x) + 2] = 1,
sarà semplicemente b / [√(4 + 0) + 2] = 1,
b / 4 = 1, b = 4.
527
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Livello 2
Lo sviluppo
* f(x) = (√(a + b*x) - 2)/x ~=
~= (√a - 2)/x + b/(2*√a) - (b^2/(8*a^(3/2)))*x +
+ termini con x solo al numeratore
comporta che, per ottenere
* lim_(x → 0) (√(a + b*x) - 2)/x = 1
occorre avere
* (√a - 2 = 0) & (b/(2*√a) = 1) ≡ a = b = 4
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CONTROPROVA al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_%28x%E2%86%920%29%28%E2%88%9A%284%2B4*x%29-2%29%2Fx
51820
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Genius I