[Risolto] esercizio di matematica aiutatemi vi prego

RIPASSO
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A) Qualsiasi equazione di secondo grado nella variabile reale x e con coefficienti reali si può porre nella forma
* p(x) = a*T(x) = 0
con
A1) a != 0
A2) T(x) = x^2 - s*x + p
e quindi risultare equivalente a
* T(x) = 0
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B) In generale, il trinomio quadratico monico
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2)
con discriminante
* Δ = s^2 − 4*p
e zeri
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
ha gli zeri X1 e X2 tali che
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto)
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C) Si distinguono tre casi
C) Se Δ < 0: gli zeri sono distinti e complessi coniugati, X = (s ± i*√(|Δ|))/2.
C) Se Δ = 0: c'è un solo zero reale doppio, X1 = X2 = X = s/2.
C) Se Δ > 0: gli zeri sono distinti e reali, con X1 < X2.
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D) Nel caso in cui i coefficienti (s, p) siano funzioni (s(k), p(k)) di un parametro k, ogni vincolo V(X1, X2) = 0 sugli zeri si traduce, con l'espressione X = (s ± √Δ)/2, in due equazioni in k.
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PER QUESTO ESERCIZIO
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* ((2 - k)*x^2 + 2*k*x + 1 = 0) & (k != 2) ≡
≡ (x^2 + (2*k/(2 - k))*x + 1/(2 - k) = 0) & (k != 2)
con
* X1 + X2 = s = 2*k/(k - 2)
* X1 * X2 = p = 1/(2 - k)
si ha
* Δ = s^2 − 4*p = (2*k/(k - 2))^2 − 4/(2 - k) = (4/(k - 2)^2)*(k + 2)*(k - 1)
* √Δ = (2/(k - 2))*√((k + 2)*(k - 1))
* X1 = (s - √Δ)/2 = (2*k/(k - 2) - (2/(k - 2))*√((k + 2)*(k - 1)))/2 =
= (k - √((k + 2)*(k - 1)))/(k - 2)
* X2 = (s + √Δ)/2 = (2*k/(k - 2) + (2/(k - 2))*√((k + 2)*(k - 1)))/2 =
= (k + √((k + 2)*(k - 1)))/(k - 2)
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Risposte ai quesiti
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1) "Le soluzioni sono opposte" ≡ s = 0 ≡
≡ 2*k/(k - 2) = 0 ≡ k = 0
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2) "La somma delle soluzioni è negativa" ≡ s < 0 ≡
≡ 2*k/(k - 2) < 0 ≡ 0 < k < 2
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3) "(X1 - X2)^2 = 4" ≡ (X2 - X1)^2 = 4 ≡ (√Δ)^2 = 4 ≡
≡ Δ = 4 ≡
≡ (4/(k - 2)^2)*(k + 2)*(k - 1) = 4 ≡
≡ (4/(k - 2)^2)*(k + 2)*(k - 1) - 4 = 0 ≡
≡ 4*(5*k - 6)/(k - 2)^2 = 0 ≡
≡ 5*k - 6 = 0 ≡
≡ k = 6/5

(2-k)x²+2kx+1 = 0

faremo riferimento alla forma standard ax²+bx+c = 0

0. Premessa

Il trinomio ammette soluzioni reali se il suo discriminante è positivo o nullo, quindi

Δ ≥ 0

b²-4ac ≥ 0

4k²-4(2-k) ≥ 0 

Le radici del trinomio sono x=-2 V x=1 per cui la disequazione è verificata per k ≤ -2 V k ≥ 1

1. Soluzioni opposte cioè x₁=-x₂

Questo caso si verifica quando b = 0 per cui

2k = 0

k = 0

Non vi sono radici reali con tale proprietà.

2. Somma delle soluzioni negative.

Sappiamo che l'opposto della somma delle soluzioni è rappresentato dal coefficiente b per cui

- 2k > 0

k > 0

Radici reali con tale proprietà si hanno per 

k ≥ 1

3. (x₁+x₂)² = 4 

Per quanto affermato al punto precedente x₁+x₂ = -2k per cui

(-2k)² = 4

4k = 4

k = 1