esercizio di mate

{a·x + 2·y = -1

{3·x + 4·y = -1

Metodo di Cramer:

Il sistema è DETERMINATO se risulta:

Δ = 4·a - 6 ≠ 0---> a ≠ 3/2

ed ammette soluzione:

x = - 2/(4·a - 6)---> x = 1/(3 - 2·a)

y = (3 - a)/(4·a - 6)----> y = (3 - a)/(2·(2·a - 3))

Se invece: a = 3/2

Il sistema è IMPOSSIBILE risultando:

[0·x = 1 ∧ 0·y = 3/2]

Chiamiamo (1) : ax + 2y = -1 e (2) : 3x + 4y =-1

Molitplico la (1) per 2 : 2ax + 4y = -2

Sottraggo (1) e (2) = x(2a-3) =-1 

x = -1/(2a-3) ;  x = 1/(3-2a)

Sostituiamo x nella prima equazione :

a/(3-2a) + 2y = -1 ; 

2y = (-a -3 +2a) /(3-2a) ;

y = (a-3)/2(3-2a)

Notiamo che se a = 3/2 allora il denominatore di x e y è zero, quindi il sistema è impossibile se a = 3/2. 

Se invece a =/ 3/2 il sistema presenta una soluzione ed è quindi determinato.

Esempio: a = 0

2y = -1

3x - 2 =-1 ; x = 1/3 e y = -1/2 ( questo lo vedi anche ponendo a = 0 nelle due soluzioni trovate in funzione di a precedentemente).

Non esiste alcun valore invece che rende il sistema indeterminato.

Banalmente, D = 4a - 6

per cui il sistema può essere singolare solo se

4a - 6 = 0

a = 6/4 = 3/2

In questo caso la I

3/2 x + 2y = -1

3x + 4y = -2

ed é incompatibile con la seconda

per cui il sistema é impossibile.

Per ogni altro valore di a é determinato.

Se ti chiede solo la natura delle soluzioni

abbiamo finito.

Altrimenti puoi calcolare la soluzione ordinaria

con la regola di Cramer.

Dx = | [-1 2; -1 4] | = - 4 + 2 = -2

Dy = | [ a -1; 3 - 1 ]| = - a + 3 

x = -2/(4a-6) = 1/(3-2a)

y = (3 - a)/(2(2a - 3))

con a =/= 3/2