Da un punto P, esterno a una circonferenza, traccia una semiretta tangente PQ, essendo Q il punto di tangenza, e una semiretta secante che incontra la circonferenza in R e S (con R compreso tra P e S). Dimostra che i triangolo PQR e QSR sono simili.
Da un punto P, esterno a una circonferenza, traccia una semiretta tangente PQ, essendo Q il punto di tangenza, e una semiretta secante che incontra la circonferenza in R e S (con R compreso tra P e S). Dimostra che i triangolo PQR e QSR sono simili.
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Livello 1
Credo ci sia un errore in traccia: i triangoli simili sono PQR e QSP, non quelli che hai indicato.
Per il teorema sulla secante e la tangente, sappiamo che vale la seguente proporzione:
$ PS : PQ = PQ : PR$
Quindi se consideriamo i triangoli $PSQ$ e $PRQ$ possiamo dire che hanno due lati in proporzione (la coppia $PS-PQ$ su $PSQ$ e la coppia $PQ-PR$ su $PRQ$) e hanno inoltre l'angolo P in comune.
Per i criteri di similitudine, avendo due lati in proporzione e un angolo congruente $PSQ$ e $PRQ$ sono simili.
Noemi
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Livello 6
@n_f ciao grazie mille. La traccia dice proprio così, quello che dici tu comunque è il teorema secante, tangente. Se mi puoi aiutare anche con l'altro esercizio te ne sarei davvero grato. Grazie ancora
I triangoli indicati dalla traccia non sono simili, si può verificare facilmente che gli angoli non sono congruenti: l'angolo PQR é congruente all'angolo in S. Quindi l'angolo PRQ dovrebbe essere congruente all'angolo RQS. Ma se fossero congruenti, essendo alterni interni, dovremmo avere le rette PS e QS parallele, che ovviamente é assurdo.
Quindi é un errore della traccia 🙂
L'altro lo vedo più tardi nel pomeriggio
@n_f grazie di cuore. La traccia mi chiede di dimostrare che PR*QS=QR*PQ non che sono simili, però questa non è la relazione di similitudine tra i due triangoli o sbaglio?
Attenzione, PR*QS=QR*PQ vuol dire chiedere che
PR : QR = PQ : QS
(Ho risistemato l'equazione sotto forma di proporzione)
Avendo dimostrato che PQR é simile a PQS, la precedente proporzione é verificata automaticamente essendo i lati omologhi dei due triangoli simili.
Hai solo preso male i triangoli ☺️