Esercizio di geometria euclidea nello spazio

@sofffff

Ciao.

Riscrivo la retta: x - 2 = y + 4 = (1 - z)/2

in forma parametrica:

{x - 2 = y + 4

{y + 4 = (1 - z)/2

pongo z =t

Quindi:

y + 4 = (1 - t)/2------> y = - t/2 - 7/2

x - 2 = (- t/2 - 7/2) + 4-----> x = 5/2 - t/2

Equazione parametrica 1^ retta:

{x = 5/2 - t/2

{y = - t/2 - 7/2

{z=t

parametri direttori: [-1/2, -1/2,1]

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Idem con patatine per la seconda retta:

(2·x - 1)/3 = y + 1 = (4·z - 2)/5

pongo z=v

(2·x - 1)/3 = y + 1 = (4·v - 2)/5

y + 1 = (4·v - 2)/5--------> y = 4·v/5 - 7/5

(2·x - 1)/3 = (4/5·v - 7/5) + 1-----> x = 6·v/5 - 1/10

Quindi equazione parametrica 2^ retta:

{x = 6·v/5 - 1/10

{y = 4·v/5 - 7/5

{z = v

parametri direttori della 2^ retta: [6/5,4/5,1]

La retta da determinare ha equazione parametrica, dovendo passare da [1, -5, 1] del tipo:

{x = 1 + α·w

{y = -5 + β·w

{z = 1 + γ·w

parametri direttori : [α, β,γ]

Le condizioni di perpendicolarità fra le rette date e quella da ottenere sono le seguenti due:

{α·(- 1/2) + β·(- 1/2) + γ·1 = 0

{α·(6/5) + β·(4/5) + γ·1 = 0

Risolviamo tale sistema in termini di γ. Si ottiene:

{- α/2 - β/2 + γ = 0

{6·α/5 + 4·β/5 + γ = 0

si ottiene: [α = - 13·γ/2 ∧ β = 17·γ/2]

Quindi:

{x = 1 + (- 13/2·γ)·w

{y = -5 + (17/2·γ)·w

{z = 1 + γ·w

assegnando quindi a tale parametro il valore arbitrario γ = 1

{x = 1 - 13·w/2

{y = 17·w/2 - 5

{z = w + 1

Quindi abbiamo:

{w = 2·(1 - x)/13

{w = 2·(y + 5)/17

{w = z - 1

Ne consegue che:

2·(1 - x)/13 = 2·(y + 5)/17 = z - 1

e dividendo per 2:

(1 - x)/13 = (y + 5)/17 = (z - 1)/2