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[Risolto] Esercizio di fisica - Gravitazione

  

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In un sistema planetario, 3 pianeti di uguale massa $m$ descrivono la stessa orbita circolare di raggio $r$ attorno a una stella di massa $M$, con la stessa velocità e restando sempre equidistanti fra loro. Considerate le distanze, le dimensioni di pianeti e della stella risultano trascurabili. Si determini il periodo del moto di rivoluzione dei 3 pianeti.

 

Buonasera a tutti gli utenti del forum. Ho un esercizio diverso dal solito da proporvi. Continua a venirmi un risultato leggermente sbagliato. Grazie mille.

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@ifigenia = la massa dei pianeti non entra nella formula : contano soltanto M, r e G

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m v^2 / r = G * M *m / r^2;

v = radicequadrata(G * M / r);

i pianeti hanno tutti la stessa velocità.

T = periodo di rivoluzione:

T = 2 π * r / v = radicequadrata[4 π^2 * r^2 * r / (G * M)];

T = radicequadrata[4 π^2 * r^3 / (G * M)];

T^2 = [4 π^2 / (G M)] * r^3; terza legge di Keplero.

Ho fatto uno schema, ho capito la situazione. 

Gavitazione

r = AM; r = AH *2/3; AH = r * 3/2, altezza del triangolo equilatero;

AH = L * radice(3) /2; L = lato triangolo, distanza fra due pianeti.

L = AH * 2 / [radice(3)] ;

L = r * (3/2)  * 2 / [radice(3)] = r * 3/[radice(3)];

L = r * radice(3); distanza fra due pianeti.

Forza di attrazione generata da due pianeti m sul terzo pianeta m:

Si sommano le due forze lungo L a 60°. Metà angolo = 30°, si proietta ciascuna forza su r con il coseno di 30°.

F2 = 2 * G * m * m /L^2 = 2 G m^2 /[r * radice(3)]^2  * cos30°;

F2 = [2 G m^2 /(r^2 *3)] * radice(3) / 2;      (il 2  si semplifica).

F2 = [G m^2 /r^2 ] * radice(3) /3;

radice(3) / 3 = 1/radice(3)

F centripeta = F1 + F2 = GMm /r^2 + Gm^2/ r^2 * 1/radice(3) ;

Fcentripeta = m v^2 / r;

 m v^2 / r = G/r^2 * [Mm + m^2 * 1/radice(3)];

v^2 = G/r * [M + m /radice(3)];

v = radicequadrata[G * (M +  m /radice(3) ) /r].

@ifigenia  di nuovo ciao. Interessante situazione.

se le masse m sono piccole, si possono trascurare le forze attrattive fra esse.

Per esempio la massa del Sole è M = 2 * 10^30 kg. Se avesse tre pianeti come la Terra in questa situazione, la massa m da aggiungere sarebbe m = 5 ,98 * 10^24 kg;

M + m / Radice(3) = 2 * 10^30 + 3,45 * 10^24 = 2,0000035 * 10^30 kg;

Non cambia assolutamente nulla. La velocità v sull'orbita rimane la stessa:

v = Radice(G M sole / r). 

Ciao @ifigenia

Ciao @ifigenia

 

@mg però Intanto grazie per la risposta.

Non mi sembra che la massa dei pianeti sia trascurabile rispetto a quella di M

Il risultato proposto dal professore è 2*π*sqrt[(r^3)/G(M+m/sqrt(3))] e sono perplessa 

@mg l’ho miracolosamente risolto, grazie ancora

Ifigenia  puoi dirmi come interviene la massa dei tre pianeti sulla velocità? Non riesco a capire. Ciao.

@mg eccomi, scusa. Ora tiro fuori il quaderno.



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la prendo alla larga :

V^2 = r*M*G/r^2 = M*G/r

T^2 = C^2/V^2 = (6,2832^2*r^2)/V^2 = (6,2832^2*r^3)/(M*G)

T = √(39,5*r^3)/(M*G)

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√6,2832^2/G  è una costante k del valore 7,6932*10^5

 T = k√r^3/M = 7,6932*10^5*√r^3/M  ...formula semplice ed elegante 

 

applicata al sistema solare (Ms = 1,99*10^30 kg) si ha :

T = 7,6932*1/(√1,99*10^30)*√r^3 = 5,454*10^-10√r^3

 

applicata alla terra si ha :

Tt = 5,454*10^-10*√(1,496^3*10^33) = 3,156*10^7 sec 

3,156*10^7/(3600*24) = 365,26 gg ....direi che ci siamo alla grandissima !!!

 

 

 

 

 

 

@mg ed @ exProf  : che ne pensate  ?  .....Dimenticavo : felice Domenica 😊

@remanzini_rinaldo ora provo a spiegarlo 😊

@remanzini_rinaldo  le masse m intervengono. Certo se sono piccole rispetto a M, la loro forza attrattiva è irrisoria.

@ mg ....vero : come va?

 



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Ciao, ho visto che i tuoi esercizi sono molto simili ai miei posso chiederti che università fai?



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