Esercizio di fisica

R1 è in parallelo con R2;

1/(R12) = 1/3 + 1/2 = (2 + 3) / 6 = 5/6;

R12 = 6/5 = 1,2 Ohm;

R3 è in parallelo con R4;

1/(R34) = 1/4 + 1/6 = (3 +  2) / 12 = 5/12;

R34 = 12/5 = 2,4 Ohm;

R5 = 0,4 Ohm;

R12  ;  R34 ;  R5 ; sono in serie; si sommano.

Requivalente = Re:

Re = 1,2 + 2,4 + 0,4 = 4,0 Ohm;

V = Re * i;

i = V / Re = 8,0 / 4,0 = 2,0 Ampère; (corrente che circola nel circuito);

i  gira in senso orario, per convenzione va dal polo +,  verso il polo - ;

la stessa corrente i passa in tutte le resistenze in serie:

V12 = R12 * i = 1,2 * 2,0 = 2,4 Volt;

V34 = R34 * i = 2,4 * 2,0 = 4,8 Volt;

V5 = R5 * i = 0,4 * 2,0 = 0,8 Volt;

la somma V12 + V34 + V5 = 8,0 Volt ci dà la (DeltaV) totale erogata dal generatore.

Nel parallelo la corrente i,  si divide sui rami; la corrente è minore dove la resistenza è maggiore.

i1 = V12 / R1 = 2,4 / 3 = 0,8 A;  (in R1);

i2 = V12 / R2 = 2,4 / 2 = 1,2 A; (in R2);

i3 = V34 / R3 = 4,8 / 4 = 1,2 A, (in R3);

i4 = V34 / R4 = 4,8 / 6 = 0,8 A; (in R4);

i5 = V5 / R5 = 0,8 / 0,4 = 2,0 A; (in R5).

Ciao @massimobonaffini

R12 = R2//R1 = 3*2/(3+2) = 1,20 ohm

R34 = R3//R4 = 4*6/(4+6) = 2,40 ohm

Req = R12+R34+R5 = 1,20+2,40+0,4 = 4,00 ohm 

I = ΔV/Req = 8,00/4,00 = 2,00 A 

I1 = I*R2/(R1+R2) = 2*2/5 = 0,80A

I2 = I-I1 = 2-0,80 = 1,20 A

I3 = I*R4/(R3+R4) = 2*6/(4+6) = 1,20 A 

I4 = I-I3 = 2-1,20 = 0,80 A 

V1 = V2 = V*R12/Req = 8*1,2/4 = 2,40 V 

V3 = V4 = V*R34/Req = 8*2,40/4 = 4,80 V 

V5 = V*R5/Req = 8*0,4/4 = 8/10 = 0,80 V

Per calcolare la resistenza totale nel circuito calcola le resistenze equivalenti dei resistori in parallelo e mettile in serie anche con $R_5$, quindi $R_{eq}=\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2} + \frac{R_3 R_4}{R_3 + R_4} = \frac{3 \Omega \cdot 2 \Omega}{3 \Omega + 2 \Omega} + \frac{4 \Omega \cdot 6 \Omega}{4 \Omega + 6 \Omega}=1.2 \Omega + 2.4 \Omega = 3.6 \Omega$ quindi $R= R_{eq} + R_5 = 3.6 \Omega + 0.4 \Omega = 4 \Omega$, da cui $I=\frac{V}{R}=\frac{8V}{4 \Omega}=2A$. Naturalmente la corrente riprende un percorso unico prima di passare per $R_5$ quindi $I_5=I$, da cui $V_5=I_5 R_5= 2A \cdot 0.4 \Omega =0.8V$. Applichiamo il teorema di Kirchhoff sulle tensioni ad ogni maglia del circuito, incluse quelle con le resistenze $(I_1,\ I_4),\ (I_2,\ I_3)$, allora deriviamo il sistema di equazioni:

$\begin{equation} \begin{cases} 3 \Omega I_1 + 4 \Omega I_3 + 0.4 \Omega I_5 = V_g\\ 2 \Omega I_2 + 6 \Omega I_4 + 0.4 \Omega I_5 = V_g\\ 3 \Omega I_1 + 6 \Omega I_4 + 0.4 \Omega I_5 = V_g\\ 2 \Omega I_2 + 4 \Omega I_3 + 0.4 \Omega I_5 = V_g \end{cases} \end{equation}$

Dato che $I_5 \cdot 0.4 \Omega=0.8V,\ V_g=8V$ sono valori noti possiamo semplificare il secondo membro a $7.2V$. Nota come $I_2=\frac{7.2V-6 \Omega I_4}{2}=3.6V-3 \Omega I_4= \frac{7.2V-4\Omega I_3}{2}= 3.6V-2 \Omega I_3 \implies 3.6V-3 \Omega I_4=3.6V-2 \Omega I_3  \implies I_4=\frac{2}{3} I_3$. Nota che $I_4+I_3=I_2+I_1=I$ per il teorema di Kirchhoff sulle correnti, da cui $I_3 + \frac{2}{3} I_3 = 2A = \frac{5}{3} I_3$, quindi $I_3=2A \cdot \frac{3}{5}=1.2A$, allora $I_4 = \frac{2}{3} 1.2A= 0.8A$, quindi la tensione ai capi dei resistori è $V_3=V_4= I_3 R_3 = 1.2A \cdot 4 \Omega = 4.8V$. Mentre per calcolare $I_1$ vediamo che dalla terza equazione $3 \Omega I_1 + 6 \Omega I_4 = 7.2V = 3 \Omega I_1 + 6 \Omega \cdot 0.8A = 3 \Omega I_1 +4.8V = 7.2V \implies I_1= \frac{7.2V-4.8V}{3 \Omega}= \frac{2.4V}{3 \Omega}= 0.8A$ da cui $V_1=V_2= I_1 R_1 = 0.8A \cdot 3 \Omega = 2.4V$ e di conseguenza $I_2 = \frac{2.4V}{R_2}=\frac{2.4V}{2 \Omega}=1.2A$. Si potevano derivare le stesse conclusioni applicando Kirchhoff una volta trovati $I_3,\ I_4$.

i due paralleli in serie ...

rp1 =r1*r2/(r1+r2) = 6/5 = 1.2 ohm

rp2 = r3*r4/(r3+r4) = 24/10 = 2.4 ohm = 2rp1 ---> Vp2 =2*Vp1

quindi E ( o fra A e D) vede ...

req=r5+rp1+rp2= 0.4 +1.2+2.4 = 4.0 ohm

i= E/req = 8/4 = 2 A

Vp1 = Vab = rp1*i = 1.2*2 = 2.4 V = V1 = V2 

Vp2 = Vbc = rp2*i = 2.4*2 = 4.8 V = V3 = V4

V5 = Vcd = r5*i5 = r5*i = 0.4*2 = 0.8 V ---> 2.4 + 4.8 + 0.8 = 8 V = E ---> ok

i1 = i*rp1/r1 = Vab/r1 = 2.4/3 = 0.8 A
i2 = i*rp1/r2 = Vab/r2 = 2.4/2 = 1.2 A ---> 0.8 + 1.2 = 2 A = i --->ok
i3 = i*rp2/r3 = Vbc/r3 = 4.8/4 = 1.2 A
i4 = i*rp2/r4 = Vbc/r4 = 4.8/6 = 0.8 A ---> 0.8 + 1.2 = 2 A = i --->ok

i5 = ig = i = 2 A

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con Kircchoff...

nodi n = 3   indipendenti n -1 = 2

lati o rami l =5 --> maglie indip. --> l -(n-1) =  3

{si è applicato K senza prima ridurre i paralleli o le serie ... cosa che non si fa ... ma per mostrare la corretta via , tutto va bene!}

nodo A

i =i1 + i2   ----------------> u = x+y

nodo C

i3 + i4 = i=i5=ig  --->   z +t = u

m1 (il verso di percorrenza è quello arancio , ma è arbitrario,... solo per il segno dell'eq... non cambia altro ... in senso opposto equivale alla moltiplicazione per -1 dell ' eq..)

0 = r1*i1 - r2*i2    --->  0 = 3x - 2y

m2

0 = r4*i4 - r3*i3   --->   0 = 6t - 4z

m3

E = r2*i2 +r4*i4 + r5*i5   ---->   8 = 2y + 6t + 0.4u

i = u = ig = i5 ; i1 = x ;  i2 = y ; i3 = z ;   i4 = t

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