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ESERCIZIO DI FISICA

  

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Una spira quadrata di lato a = 10 cm, resistenza elettrica R = 0.2 Ω e massa
m = 40 g, si trova al limite di una regione di spazio nella quale è presente
un campo magnetico uniforme e costante, B = 2 T, perpendicolare al piano
della spira (vedi figura). Si vuole far entrare completamente la spira nel campo
magnetico. A tal fine, all’istante t = 0, la spira viene lanciata verso il campo
con una velocità iniziale v0 = 1.5 m/s (vedi figura).
Determinare:
1. il verso della corrente indotta nella spira mentre essa entra nel campo
magnetico;
2. la velocità finale della spira una volta entrata nel campo;
3. il tempo impiegato dalla spira per entrare completamente all’interno del
campo;
4. la quantità di carica che scorre nella spira durante il suo ingresso nel
campo

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Secondo la Legge di Faraday e la Legge di Lenz, la corrente indotta nella spira si oppone vettorialmente alla variazione di flusso magnetico: quando la spira entra nel campo magnetico, il flusso magnetico attraverso la spira aumenta e la corrente indotta genererà un campo magnetico che si oppone a questa variazione.

Poiché $B$ è perpendicolare al piano della spira ed è entrante rispetto ad esso, la corrente indotta, secondo il formalismo vettoriale, avrà verso antiorario.

Consideriamo la Forza di Lorentz sulla spira:

\[F = I L B\,,\]

dove $I$ è calcolabile a partire dalla Legge di Faraday

\[f_{em} = -\frac{d \phi}{dt} \Bigg|_{\substack{\phi = Ba^2}} \implies f_{em} = Ba\frac{d x}{dt} = Bav \implies\]

\[I = \frac{f_{em}}{R} = \frac{Bav}{R}\,.\]

Dunque

\[F = \frac{B^2 a^2 v}{R}\,.\]

Tale forza riduce la velocità, descrivibile tramite la seconda legge di Newton in forma differenziale:

\[m\frac{d v}{dt} = -\frac{B^2 a^2 v}{R} \iff m \int_{v_0}^{v} \frac{d v}{v} = -\frac{B^2 a^2}{R} \int_{0}^{t} dt \implies\]

\[\log{\left(\frac{v}{v_0}\right)} = -\frac{B^2 a ^2 v}{m R}t \iff v = v_0 e^{-\frac{B^2 a^2}{m R}t} \mid t = \frac{a}{v_0}\]

\[\text{(tempo impiegato per entrare nel campo nello spazio pari alla lunghezza del lato della spira)}\,.\]

La quantità di carica $Q$ che scorre nella spira durante il suo ingresso nel campo, può essere calcolata nel modo seguente:

\[Q = \int_{0}^{t} I dt \mid I = \frac{Bav}{R} \land v = v_0 e^{-\frac{B^2 a^2}{m R}t}\,.\]

Basta procedere con i calcoli. 

Nota: La velocità, a causa delle interazioni del campo magnetico, tenderà a zero asintoticamente; tuttavia, negli istanti temporali di ingresso nel campo, essa assume il valore calcolabile tramite la relazione che ho scritto.

 

@enrico_bufacchi grazie mille



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1) Phi [B] = - B iz * a vo t iz = - a vo B t

i = - 1/R dPhi[B]/dt = 1/R * a vo B

il verso è antiorario in modo da opporsi alla variazione di flusso

che l'ha generata

2) mi lancio e dico 1/2 m v^2 = 1/2 m vo^2 - R i^2 T

v^2 = vo^2 - 2/m R * 1/R^2 a^2 vo^2 B^2 T

v = vo sqrt ( 1 - 2 a^2 B^2 T /(m R))

3) vo T = a => T = a/vo

4) Q = i T = a^2 B/R

@eidosm grazie mille



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f.e.m indotta = - dΦ /dt;

Φ = B * Area;

f.e.m. = - (B * Area)/dt

Mentre la spira entra nel campo B la sua area varia, aumenta da 0 ad a^2;

a = 0,1 m; lato verticale costante;

vo = 1,5 m/s; B = 2 T entrante nel foglio del disegno;

lato orizzontale = vo * dt

Area = a * vo * dt; 

f.e.m. = - B a vo dt / dt = - B a vo;

i = f.e.m. / R = - B a vo / R;

il verso della corrente deve essere tale da generare un campo che si oppone all'aumento del flusso di B entrante nel foglio, quindi la spira deve generare  un campo uscente dal suo piano, la corrente deve girare in senso antiorario nella spira;

i = - 2 * 0,1 * 1,5 / 0,2 = - 1,5 A;

La f.e.m. diventa 0 V quando la spira è tutta all'interno del campo, il flusso non varia più, la corrente si annulla.

Forza agente sul primo lato della spira che entra nel campo B;

F = B i L , verso sinistra;  L = lato spira  = 0,1 m; Forza frenante

Fo = 2 * 1,5 * 0,1 = 0,3 N; verso sinistra

F = m * a ; a = accelerazione del moto; m = 40 g = 0,040 kg

a = F / m = 0,3 /0,040 =  - 7,5 m/s^2 ; verso sinistra, decelerazione 

v = a t + vo; moto accelerato;

v = - 7,5 t + 1,5; la velocità diventa 0 m/s;

- 7,5 * t + 1,5 = 0;

t = 1,5 / 7,5 = 0,2 s ; tempo impiegato dalla spira per fermarsi.

S = lato spira = 0,1 m;

S = 1/2 a t^2 + vo t; legge del moto accelerato, troviamo il tempo t, 

tempo per entrare completamente nella zona del campo:

1/2 *(- 7,5) * t^2 + 1,5 * t = 0,1 metri

- 3,75 t^2 + 1,5 t - 0,1 = 0;

3,75 t^2 - 1,5 t + 0,1 = 0;

t = [+ 1,5 +- radicequadrata(1,5^2 - 4 * 0,1 * 3,75)] / (2 * 3,75) ,

t = [+ 1,5 +- radice(0,75)] / 7,5;

t = [+ 1,5 +- 0,866] / 7,5 ;

t1 = [1,5 - 0,866]/7,5 = 0,08 s;

t2 = 1,73 /7,5 = 0,23 s; da scartare perché si ferma in un tempo minore.

Q = i * t1;

la corrente circola per t1 =  0,08 s; (Delta t);

i = Delta Q /Delta t;

Delta Q = i * Delta t

Q = 1,5 * 0,08 = 0,12 Coulomb di carica.

Ciao  @bc01

 

@mg grazie mille

 



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