La spira è posta in un campo magnetico generato dal filo. L'induzione magnetica $B$ a distanza $y(t)$ da un filo percorso da corrente è data da
\[B(y) = \frac{\mu_0 i}{2\pi y}\,.\]
La forza elettromotrice indotta $\mathcal{E}$ nella spira è
\[\mathcal{E} = - \frac{d\Phi_B}{dt}\mid \Phi_B = B\cdot A = B(y)\cdot L^2\,.\]
Quindi:
\[\mathcal{E} = - \frac{d}{dt} \left( \frac{\mu_0 i L^2}{2 \pi y(t)} \right)\,.\]
Assumiamo che $y(t) \approx y(0) + v_0 t$ per intervalli temporali infinitesimali, con $v_0 = 0$ (partenza da fermo)
\[\mathcal{E} = - \frac{\mu_0 i L^2}{2 \pi} \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{y(t)} \right)\,.\]
Per una caduta libera, dove $g$ è l'accelerazione di gravità
\[y(t) = \frac{1}{2} g t^2\,,\]
dove $g$ è l'accelerazione di gravità; dunque
\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{y(t)} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{\frac{1}{2} g t^2} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{2}{g t^2} \right) = -\frac{4}{g t^3}\,. \]
Quindi la forza elettromotrice indotta è: \[\mathcal{E} = - \frac{\mu_0 i L^2}{2\pi} \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{y(t)}\right)\,.\]
Per una caduta libera $y(t) = \frac{1}{2} g t^2$.
Quindi la forza elettromotrice indotta diventa
\[\mathcal{E} = \frac{2 \mu_0 i L^2}{\pi g t^3}\,.\]
Per la legge di Ohm
\[I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{2 \mu_0 i L^2}{\pi g R t^3}\,.\]
Il verso della corrente indotta è tale da opporsi alla variazione del flusso magnetico attraverso la spira (legge di Lenz).
Le forze agenti sulla spira sono la Forza Peso $w$ e la Forza di Lorentz $F_L$ indotta dal campo magnetico del filo:
\[ F_L = I \cdot L \cdot B \\
w = mg\,,
\]
dove: \[ B(t_1) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi y(t_1)} \] e \[ y(t_1) = \frac{1}{2} g t_1^2\,.\]
Per tempi lunghi, \( t \gg \sqrt{\frac{2L}{g}} \), la velocità terminale \( v_t \) della spira può essere determinata quando la forza di Lorentz bilancia la forza di gravità:
\[ mg = I \cdot L \cdot B \] \[ mg = \frac{2 \mu_0 i L^2}{\pi g R t^3} \cdot L \cdot \frac{\mu_0 i}{2 \pi y}\,,
\]
stabilendo un moto a velocità costante $v_t$ quando la forza gravitazionale è bilanciata dalla forza indotta magneticamente.
Devi solamente sostituire i valori che ti fornisce la traccia, prestando attenzione alle unità di misura e cifre significative.
