Esercizio di fisica

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/es-24-pag-253/

Nella rotazione di un corpo si conserva il momento angolare, dato in modulo da L = mvr.

Se la velocità lineare aumenta del 10%, avremo L = m*1,10v*r' e dunque per conservare lo stesso L, deve essere r' = r/1,10 e nel nostro caso r' = 50/1,10 = 45,45 cm.
Perciò la corda andrà accorciata di (50 - 45,45) = 4,55cm

Ora esprimiamo il momento angolare in funzione di omega, velocità angolare, e ricordando che è v = omega*r, avremo L = m*omega*r^2.

Se la velocità angolare aumenta del 10%, avremo L = m*1,10 omega*r'^2 e dunque per conservare lo stesso L, deve essere (r')^2 = r^2/1,10 cioè r' = rad(r^2/1,10) = r/rad(1,10) = r/1,05. Nel nostro caso r' = 50/1,05  =  47,67 cm
Perciò la corda andrà accorciata di 50 - 47,67 = 2,33 cm

"avrei bisogno di risolvere questo problema in modo dettagliato"
Premetto due obiezioni ("avrei" è un condizionale privo di condizione, quindi ingiustificato; dire "in modo dettagliato" è come dire "in modo semplice": sono cose che dipendono assai più da chi legge che non da chi scrive.) e un'analogia (nel pattinaggio su ghiaccio chi ruota a braccia e gambe spalancate e raccoglie a sé gli arti per accelerare sta applicando la Conservazione del Momento della Quantità di Moto (MQM); vedi al link

).
Nel caso dell'esercizio la quantità di moto q è il prodotto fra la massa m del sasso e la sua velocità v (prodotto fra velocità angolare ω e raggio R della traiettoria circolare: v = ω*R): un vettore di lunghezza q = m*v che si mantiene tangente alla traiettoria del sasso che gira in un piano orizzontale. Il suo momento P è un vettore ortogonale al piano della traiettoria (quindi verticale, orientato come il corpo del ragazzo) di lunghezza P = R*q = R*m*v = R*m*ω*R.
In assenza di momenti di forze esterne applicati al sasso, P mantiene costanti modulo e direzione.
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"aumentare del 10% la velocità del sasso" vuol dire passare dal valore di v = P/(R*m) a
* V = P/(r*m) = ((100 + 10)/100)*v = (11/10)*P/(R*m) ≡ P/(r*m) = (11/10)*P/(R*m) ≡ 1/r = (11/10)/R ≡ r = 10*R/11
con la richiesta differenza d di recupero che vale
* d1 = R - r = (1 - 10/11)*R = R/11
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"aumentare del 10% la velocità angolare del sasso" vuol dire passare dal valore di ω = P/(m*R^2) a
* Ω = P/(m*r^2) = ((100 + 10)/100)*ω = (11/10)*P/(m*R^2) ≡ P/(m*r^2) = (11/10)*P/(m*R^2) ≡ 1/r^2 = (11/10)/R^2 ≡ r = R*√(10/11)
con la richiesta differenza d di recupero che vale
* d2 = R - r = (1 - √(10/11))*R
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Da
* R = 50 cm
si hanno
* d1 = 50/11 = 4.(54) ~= 4.5 cm
* d2 = (1 - √(10/11))*50 ~= 840/361 ~= 2.32687 ~= 2.3 cm
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Gradirei sapere se hai trovato abbastanza dettagliato questo svolgimento.

Un ragazzo gioca a far girare più velocemente possibile una corda con un sasso m attaccato all'estremità. La lunghezza l della corda (dalla mano al sasso) è 50 cm.

Si pongono massa, lunghezza l e velocità angolare unitarie (m = 1 ; l = 1 ; ω = 1)

a) condizione iniziale

momento di inerzia I = m*l^2 = 1 

Momento angolare L = I*ω = 1*1 = 1  

velocità tangenziale V = ω*l = 1*1 = 1 

b) Quanta corda Δl' deve recuperare perché la nuova velocità  tangenziale V'  aumenti del 10% la velocità tangenziale primitiva V del sasso?

L rimane costante e pari ad 1 

V' = V*1,1 = 1,1 = ω'*l' con l' < l

I' = m*l'^2 = l'^2 

L = 1 = I'*ω' = l'^2*1,1/l' = 1,1*l'

l' = 1/1,1 = 0,909 pu

l' = 50*0,909 = 45,45 cm , corda da recuperare Δl' = l-l' = 4,55 cm 

- Quanta corda Δl'' deve recuperare perché la nuova velocità  angolare  ω''  aumenti del 10% la velocità angolare  primitiva ω del sasso?

I'' = m*l''^2 = l''^2 

L = 1 = I''*ω'' = l''^2*1,1*ω 

l'' = √L/(1,1*ω) = √ 1/1,1 = √0,909 = 0,9535 pu

l'' = 50*0,9535 = 47,67 cm , corda da recuperare Δl'' = l-l'' = 2,33 cm 

Risposta supplementare
Il filmato è troppo carino per consentire a qualche browser (come il mio!) di non riconoscerne il link che pertanto duplico a pezzettini: "http://" + "it.wikipedia.org/" + "wiki/" + "File:BehoudImpulsmoment.ogv"; vale la pena di guardarlo!