Esercizio di dinamica

- F//A + T = 0 N Forze su A in quiete; 

F// su A = 40 * 9,8 * sen35° = 392 * 0,574 = 224,8 N ; 

T = 224,8 N; 

F attrito su B = ks * (mB * g * cos35°) = ks * 18 * 9,8 * cos35°; contraria al moto;

F attrito su B = ks * 176,4 * 0,819 = ks * 144,47

F//su B  =  18 * 9,8 * sen35° = 101,18 N, forza che agisce su B verso il basso del piano inclinato;

F risultante su B = T - F//B - F attrito = 0 N;

T - 101,18 -  ks * 144,47 = 0;  ( su B)

T = 224,8 N;  (su A)

224,8 - 101,18 - ks * 144,47 = 0; equilibrio;

ks * 144,47  = 224,8 - 101,18;

ks = 123,62 /144,47 = 0,86; (coefficiente d'attrito statico che impedisce il moto).

ks = 0,15;

FA// = 224,8 N;

FB// = 101,18 N; verso il basso;

F attrito su B = 0,15 * 144,47 = 21,67 N; in verso contrario al moto, verso il basso;

F di tensione T verso l'alto;

- F//A + T = - mA * a; il corpo A scende;  (1)

T - (F//B + F attrito) = + mB * a; B sale verso l'alto;  (2)

T = F//A - mA * a;  (1)  sostituiamo nella  (2)

F//A - mA * a - F//B - F attrito = mB * a;  (2)

F//A - F//B - F attrito =(mB + mA) * a;

a = [F//A - F//B - F attrito] /(mB + mA)

a = [224,8 - 101,18 -21,67] / (18 + 40);

a = 101,95 / 58 = 1,76 m/s^2; 

(A scende e B sale, hanno la stessa accelerazione),

T = F//A - mA * a,

T = 224,8 - 40 * 1,76;

T = 224,8 - 70,4 = 154,4 N.

Se l'angolo di pendenza è 90°, non c'è attrito perché cos90° = 0;

invece sen90° = 1;

a = [FpesoA - FpesoB] /(mB + mA);

a = [mA g - mB g] / (mB + mA);

a = [(40 - 18) * 9,8] /(18 + 40);

a = 22 * 9,8 / 58 = 215,6 / 58 = 3,72 m/s^2

S = 0,60 m;  si muovono l'uno verso l'altro; (metà percorso ciascuno);

(1/2  a t^2) * 2 = 0,60;

t = radicequadrata( 0,60 / a) = radice(0,60 /1,76);

t = radice(0,34) = 0,58 s; (circa)

Ciao @vittoria_retini8663

Se stai leggendo da smartphone ti consiglio di ruotare il dispositivo in orizzontale.

$\textbf{a.}$

Suppongo che la fune sia inestensibile, quindi $A$ e $B$ si muovono con la stessa accelerazione, ma in versi opposti. Quindi se $B$ riesce a muoversi, anche $A$ potrà muoversi perché il piano è liscio. Perché $B$ non si muova, la forza di attrito deve vincere tutte le altre forze. Poniamo come asse positivo quello verso la base del piano inclinato, possiamo creare il sistema che segue:

$\begin{cases} m_B g \cos(\theta) \mu_{AB} + m_B g \sin(\theta) - T = -m_B a \\ m_A g \sin(\theta) - T = m_A a \end{cases}$

Il $-m_B a$ è dovuto al fatto che $A$ e $B$ si muovono in verso opposto, avendo fissato come verso positivo quello di $A$, quello di $B$ è negativo. Ma dato che $B$ non si muove (per ipotesi), la sua accelerazione è $0$, quindi possiamo semplificare un po':

$\begin{cases} m_B g \cos(\theta) \mu_{AB} + m_B g \sin(\theta) =T \\ m_A g \sin(\theta) =T \end{cases}$

Risolviamo il sistema notando che $T=T$, quindi $m_B g \cos(\theta) \mu_{AB} + m_B g \sin(\theta)  = m_A g \sin(\theta)$, da cui $m_B \cos(\theta) \mu_{AB} = \sin(\theta) \cdot (m_A-m_B) \implies \mu_{AB} = \dfrac{sin(\theta)}{\cos(\theta) m_B}(m_A-m_B) = \dfrac{\tan(\theta)}{m_B}(m_A-m_B)=\dfrac{\tan(35^{\circ})}{18kg}(40kg-18kg) \approx 0.856$.

$\textbf{b.}$

Supponendo però che $\mu_{AB} = 0.15$ i corpi possono muoversi, però vale comunque il sistema che avevamo costruito prima, solo che $a \neq 0$ questa volta:

$\begin{cases} m_B g \cos(\theta) \mu_{AB} + m_B g \sin(\theta) - T = -m_B a \\ m_A g \sin(\theta) - T = m_A a \end{cases}$

Sottraggo la seconda alla prima e ottengo:
$m_B g \cos(\theta) \mu_{AB} + m_B g \sin(\theta) -m_A g \sin(\theta) = -m_B a - m_A a$

$-a(m_B+m_A) = g(m_B \cos(\theta) \mu_{AB} + m_B  \sin(\theta) - m_A \sin(\theta))$

$a=-\dfrac{g}{m_B+m_A}(m_B \cos(\theta) \mu_{AB} + m_B  \sin(\theta) - m_A \sin(\theta))$

Ti risparmio il calcolo e ti dico che $a \approx 1.758 m/s^2$ che sembra corretto dal momento che avevamo fissato l'asse positivo nel verso della base del piano inclinato (se $a$ è positivo significa che $A$ scende e $B$ sale). Quindi usiamo la seconda equazione per ricavare $T$ e otteniamo che $T=m_A(g \sin(\theta)-a)=40kg(9.8m/s^2 \cdot \sin(35^{\circ})-1.758m/s^2)=154.52N$

$\textbf{c.}$

Abbiamo trovato che

$a=-\dfrac{g}{m_B+m_A}(m_B \cos(\theta) \mu_{AB} + m_B  \sin(\theta) - m_A \sin(\theta))$

se però $\theta = 90^{\circ}$ otteniamo che $\cos(\theta)=0$, mentre $sin(\theta)=1$, quindi:

$a=-\dfrac{g}{m_B+m_A}(m_B-m_A)=- \dfrac{9.8m/s^2}{18kg+40kg}(18kg-40kg) \approx 3.717 m/s^2$ che ha senso perché l'orientazione degli assi rimane la stessa (solo ruotata), quindi $A$ scende e $B$ sale (che è corretto intuitivamente dato che $m_A > m_B$ ed è verificato dal fatto che $a$ è positivo).

$\textbf{d.}$

Ritorniamo nel caso in cui $\theta = 35^{\circ}$, sappiamo che $a=1.758m/s^2$ quindi dobbiamo risolvere l'equazione $0.6m -\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}at^2 \implies at^2 = 0.6m \implies t = \sqrt{\dfrac{0.6m}{1.758m/s^2}} \approx 0.584s$. Dobbiamo risolvere quest'equazione perché la traiettoria di $A$ e di $B$ è parallela finché sono a contatto, se ruoti l'immagine di $35^{\circ}$ in senso orario diventa più o meno così:

dove i vettori rappresentano le accelerazioni di $A$ e $B$, fissiamo come $0$ l'ascissa di $B$ e come verso positivo quello di $B$. $A$ e $B$ si incontreranno quando le loro posizioni saranno uguali, dato che la legge oraria di $A$ è $-\frac{1}{2}at^2$ e quella di $B$ è $\frac{1}{2}at^2$ otteniamo l'equazione $0.6m -\frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$.

a)

g(ma*sin 35°) = g(mb*sin 35°+mb*cos 35°*μs)

g si elide

sin 35°(ma-mb) = mb*cos 35°*μs

μs = sin 35°(ma-mb)/(mb*cos 35°)

μs = 0,5736*(40-18)/(18*0,8192) = 0,8558

b)

forza accelerante Fa = g*ma*sin 35° - g*(mb*sin 35°+mb*cos 35°*0,15) 

Fa = g*(40*0,5736-(18*(0,5736+0,8192*0,15))) = 102,06 N

accelerazione a = Fa/(ma+mb) = 102,06/58 = 1,760 m/s^2 

tensione T = ma(g*sin 35°-a) = 40*(9,8066*0,5736-1,76) = 154,6 N

c)

non ci sarebbe attrito ed il sistema sarebbe assimilabile ad un a macchina di Atwood con accelerazione a' = g(40-18)/(40,18) = 9,8066*22/58 = 3,720 m/s^2

d)

S = 0,60 = a*t^2

t = √0,60/1,76 = 0,584 s