Esercizio di dimostrazione su prodotto interno

Question

Let X and Y be inner product spaces with inner products $(., .)_X and $(., .)_Y respectively, and let Z=X x Y be the Cartesian product space. Prove that the function $(., .)_Z: Z x Z  rightarrow F defined by ((x_1, y_1),(x_2, y_2))_Z=(x_1, x_2)_X+(y_1, y_2)_Y is an inner product on Z. Buongiorno, ho provato a svolgere questo esercizio e volevo avere una correzione, inoltre il punto 3 della dim non è terminato e non so procedere.. [attach]57763[/attach] [attach]57765[/attach] Grazie in anticipo!

n_f · Accepted Answer

(1) e (2) sono corrette.

Per quanto riguarda la linearità, dobbiamo vedere se:

$(\alpha(x_1, y_1) + \beta(x_2,y_2), (x_3,y_3))_Z = \alpha((x_1, y_1), (x_3,y_3)) + \beta((x_2, y_2), (x_3,y_3))_Z$

Partiamo quindi da:

$(\alpha(x_1, y_1) + \beta(x_2,y_2), (x_3,y_3))_Z$

Sfruttando la linearità di Z che è uno spazio vettoriale abbiamo:

$((\alpha x_1, \alpha y_1) + (\beta x_2, \beta y_2), (x_3,y_3))_Z = $

$((\alpha x_1+\beta x_2, \alpha y_1+\beta y_2), (x_3,y_3))_Z = $

Dalla definizione di prodotto interno in Z:

$(\alpha x_1+\beta x_2,x_3)_X + (\alpha y_1+\beta y_2,y_3)_Y =$

e sfruttando la linearità dei prodotti interni in X e Y:

$\alpha(x_1,x_3)_X+\beta(x_2,x_3)_X+\alpha(y_1,y_3)_Y+\beta(y_2,y_3)_Y=$

Raccogliendo i coefficienti:

$\alpha[(x_1,x_3)_X+(y_1,y_3)_Y]+\beta[(x_2,x_3)_X+(y_2,y_3)_Y]=$

Ma in parentesi abbiamo allora i prodotti interni di Z:

$\alpha((x_1,x_3),(y_1,y_3))_Z+\beta((x_2,x_3),(y_2,y_3))_Z$

e dunque abbiamo la linearità 🙂

Noemi

n_f

(@n_f)

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24/10/2023 11:45

[Risolto] Esercizio di dimostrazione su prodotto interno

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