Ciao di nuovo Alessandra, grazie mille per i bei esercizi che proponi!
In realtà la tua dimostrazione è già finita!
Ripercorriamola insieme.
Giustamente scrivi che essendo $(x)_n$ successione di Cauchy in $(X, d_1)$ allora $\forall \varepsilon>0$ hai che:
$\left\|x_n-x_m \right\|_1 < \varepsilon$
da un certo indice $n_0$ in poi.
Ora il nostro obiettivo è dimostrare che $\forall \varepsilon ' >0$ (diverso dal $\varepsilon$ di prima), deve esistere un indice $n_0'$ a partire dal quale
$\left\|x_n-x_m \right\|_2 < \varepsilon'$
Come hai correttamente scritto, le due norme sono equivalenti e dunque $\exists m, N >0$ tali che:
$m \left\|x_n-x_m \right\|_1 \leq \left\|x_n-x_m \right\|_2 \leq M \left\|x_n-x_m \right\|_1$
Ma sapendo che $\forall \varepsilon$ (ed è qui il punto, per ogni!!)
$\left\|x_n-x_m \right\|_1 < \varepsilon$
otteniamo che:
$\left\|x_n-x_m \right\|_2 < M \varepsilon$
Allora possiamo tranquillamente sceglierci $\varepsilon < \varepsilon'/M$ (tanto ne possiamo scegliere uno qualsiasi). In questo modo abbiamo che:
$\left\|x_n-x_m \right\|_2 < M \varepsilon < M * \varepsilon'/M = \varepsilon'$
per $m,n > max\{n_0, n_0'\}$.
Dunque abbiamo che $(x)_n$ è di Cauchy in $(X, d_2)$.
Il viceversa è esattamente identico, invertendo il ruolo delle due norme.
Ciao!
Noemi
