Un'urna contiene 4 palline bianche, 6 rosse e 2 nere. Sia $B$ la variabile aleatoria che conta il numero di palline bianche estratte in 3 estrazioni e $R$ la variabile aleatoria che conta il numero di palline rosse estratte in 3 estrazioni. Determina:
(a) se $B$ ed $R$ sono indipendenti quando le estrazioni sono senza rimbussolamento;
(b) se $B$ ed $R$ sono indipendenti quando le estrazioni sono con rimbussolamento.
371
punti
Livello 1
Ci proviamo
SENZA REIMBUSSOLAMENTO con
4b 6r 2n si ha
Pr [k bianche ] = C(4,k)C(8,3-k)/C(12,3)
Pr [h rosse ] = C(6,h)C(6,3-h)/C(12,3)
Ora Pr [1b e 1r] = C(4,1)C(6,1)C(2,1)/C(12,3) = 4*6*2/220 = 48/220 = 12/55
che non é C(4,1)*C(8,2)/220 * C(6,1)*C(6,2)/220 = 112/220 * 90/220 =
= 28/55 * 9/22 = 252/1210
e non sono indipendenti
Con reimbussolamento invece la distribuzione é binomiale
Pr [k bianche] = C(3,k) * (1/3)^k *(2/3)^(3-k)
per k da 0 a 3
8/27 12/27 6/27 1/27
per h da 0 a 3
Pr [h rosse] = C(3,h) * (1/2)^h * (1/2)^(3-h)
1/8 3/8 3/8 1/8
Pr [k bianche & h rosse] = 3!/(k!h!(3 - k - h)!) (1/3)^k (1/2)^h (1/6)^(3-k-h)
k h valori possibili
0 1 P = 3 * (1/2) * (1/6)^2 = 1/24 non é 8/27 * 3/8 = 3/27 = 1/9
1 0
1 1
2 1
1 2
3 0
0 3
e non sono indipendenti.
38711
punti
Livello 7
@eidosm si perfetto, per quanto riguarda senza reimussolamento ho fatto come hai spiegato tu. Senza reimbussolamento non mi è venuto in mente di usare la distribuzione binomiale, adesso è chiaro, grazie.
@eidosm nel caso con rimbussolamento non ho capito come hai fatto a calcolare la probabilità di pescare k bianche e h rosse. Che ragionamento hai utilizzato?
ho usato semplicemente una distribuzione multinomiale ( analoga alla binomiale con n >2 outcomes )
@eidosm ok c'è un link dove posso trovare questa formula?
