Esercizio conservazione momento angolare

Nel novembre 2003 alcuni scienziati dell'osservatorio di Monte Palomar, in California, scoprirono un oggetto trans-nettuniano di grandi dimensioni, uno dei più distanti osservati all'interno del Sistema solare. L'oggetto, che venne chiamato Sedna, ha un diametro approssimativamente di 1700 km, impiega 10500 anni a orbitare intorno al Sole e raggiunge una velocità massima di 4,64 km/s. I calcoli per determinare l'orbita, basati su successive osservazioni, hanno mostrato che questa è fortemente ellittica e che la distanza dal Sole varia da 76 UA a 942 UA (1 UA è l'unità astronomica, cioè la distanza media della Terra dal Sole, pari a 1,50 x10^8 km).
a) Qual è la velocità minima di Sedna?. b) In quale punto dell'orbita si hanno la minima e la massima velocità?. c) quanto vale il rapporto fra l'energia cinetica massima di Sedna e quella minima?

Spiegazione della relazione fra legge delle aree e conservazione del momento angolare

Alcuni scienziati dell'osservatorio di Monte Palomar, in California, hanno scoperto un oggetto trans-nettuniano di grandi dimensioni, uno dei più distanti osservati all'interno del Sistema solare. L'oggetto, chiamato Sedna, ha un diametro approssimativo di 1700 km, un periodo T  di 10.500 anni  e raggiunge una velocità massima di 4,64 km/s. I calcoli per determinarne l'orbita, basati su accurate osservazioni, hanno mostrato che questa è fortemente ellittica e che la distanza dal Sole varia da 76 UA a 942 UA (l'unità astronomica UA, cioè la distanza media della Terra dal Sole, è pari a 1,50*10^8 km).

b) In quale punto dell'orbita si hanno la minima e la massima velocità?

a.1 perielio

Ip = m*dp^2

ωp = Vp/dp

Lp = m*dp^2*Vp/dp = m*dp*Vp

a.2 afelio

Ia = m*da^2

ωa = Va/da

La = m*da^2*Va/da = m*da*Va

uguagliando le due (con la massa m che si semplifica) si giunge a :

dp*Vp = da*Va 

Va = Vp*dp/da = 4,64*76/942 = 0,3744 km/s

c) quanto vale il rapporto k fra l'energia cinetica massima di Sedna e quella minima?

k = (942/76)^2 = 153,63