Volume dell'ellissoide. Il solido generato da una rotazione della regione di piano racchiusa dall'ellisse di equazione $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ con $a>0$ e $b>0$ intorno a uno dei suoi assi di simmetria si chiama ellissoide. Verifica che:
2. in una rotazione intorno all'asse $x$ si ottiene un ellissoide di volume $\frac{4}{3} \pi a b^2$;
b. in una rotazione intorno all'asse $y$ si ottiene un ellissoide di volume $\frac{4}{3} \pi a^2 b$.
Spiegare e argomentare.
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Livello 2
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
supponiamo a e b entrambe >0
Rotazione attorno asse delle x:
Risolviamo l'equazione rispetto ad y:
y = - √(a^2 - x^2)·(b/a) ∨ y = √(a^2 - x^2)·(b/a)=f(x)
Consideriamo l'espressione in grassetto e valutiamo l'integrale
∫(pi·b^2·(a^2 - x^2)/a^2) dx = pi·b^2·x - pi·b^2·x^3/(3·a^2)
valutato da x = -a ad x = a
pi·b^2·a - pi·b^2·a^3/(3·a^2) = 2·pi·a·b^2/3
pi·b^2·(-a) - pi·b^2·(-a)^3/(3·a^2) = - 2·pi·a·b^2/3
quindi:
2·pi·a·b^2/3 - (- 2·pi·a·b^2/3) = 4·pi·a·b^2/3
Rotazione attorno asse delle y:
Risolviamo l'equazione rispetto ad x:
x = - √(b^2 - y^2)·a/b ∨ x = √(b^2 - y^2)·a/b =f(y)
Consideriamo l'espressione in grassetto e valutiamo l'integrale
∫(pi·a^2·(b^2 - y^2)/b^2) dy = pi·a^2·y - pi·a^2·y^3/(3·b^2)
valutato da y = -b ad y = b
pi·a^2·b - pi·a^2·b^3/(3·b^2) = 2·pi·a^2·b/3
pi·a^2·(-b) - pi·a^2·(-b)^3/(3·b^2) = - 2·pi·a^2·b/3
quindi:
2·pi·a^2·b/3 - - 2·pi·a^2·b/3 = 4·pi·a^2·b/3
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Genius III
