[Risolto] Esercizio circonferenza matematica

La circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 4*x - 8*y = 0 ≡
≡ x^2 - 4*x + y^2 - 8*y = 0 ≡
≡ (x - 2)^2 - (2)^2 + (y - 4)^2 - (4)^2 = 0 ≡
≡ (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = (2*√5)^2
ha
* raggio r = 2*√5
* centro C(2, 4)
quindi un quadrato in essa inscritto ha
* diagonale D = 2*r = 4*√5
* lato L = D/√2 = 4*√(5/2)
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Le rette parallele alla retta y = 2*x appartengono al fascio improprio
* r(q) ≡ y = 2*x + q
e risultano esterne, tangenti o secanti Γ secondo il segno del discriminante Δ(q) della risolvente del sistema "r(q) & Γ".
Sistema
* (y = 2*x + q) & ((x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 20)
Risolvente
* (x - 2)^2 + (2*x + q - 4)^2 - 20 = 0
Discriminante
* Δ(q) = - 4*(q + 10)*(q - 10)
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Per poter "staccare su Γ una corda AB" occorre che le intersezioni A e B siano punti reali e distinti, cioè
* Δ(q) > 0 ≡ - 10 < q < 10
* A((10 - 2*q - √(100 - q^2))/5, (20 + q - 2*√(100 - q^2))/5)
* B((10 - 2*q + √(100 - q^2))/5, (20 + q + 2*√(100 - q^2))/5)
da cui la lunghezza della corda
* |AB| = c(q) = 2*√((100 - q^2)/5)
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La condizione "... una corda ... quadrato inscritto ..." vuol dire
* |AB| = c(q) = 2*√((100 - q^2)/5) = 4*√(5/2) ≡
≡ q = ± 5*√2
da cui le secanti richieste
* r(- 5*√2) ≡ y = 2*x - 5*√2
* r(+ 5*√2) ≡ y = 2*x + 5*√2
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Il cerchio di area
* A = π*r^2 = 20*π
è suddiviso da ciascuna corda c = 4*√(5/2), non diametrale, in due segmenti circolari di aree diseguali.
Detto
* θ = 2*α
l'angolo al centro sotteso dalla corda c, si ha l'area del segmento minore
* A1 = S - T
come differenza fra quella del settore
* S = (θ/(2*π))*A = 20*α
e quella del triangolo
* T = b*h/2 = (4*√(5/2))*(2*√5)*cos(α)/2 = (10*√2)*cos(α)
e quindi si ha l'area del segmento maggiore come complemento al cerchio
* A2 = A - A1 = A - S + T =
= 20*(π - α) + (10*√2)*cos(α) =
= 10*(2*(π - α) + (√2)*cos(α))
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L'angolo α e il suo coseno si determinano rammentando che metà della corda c e la sua distanza d dal centro sono cateti di un triangolo rettangolo che ha il raggio r per ipotenusa e pertanto vale la relazione pitagorica
* r^2 = d^2 + (c/2)^2 ≡
≡ 20 = d^2 + (2*√(5/2))^2 ≡
≡ d = 2*√(5/2)
cioè quel triangolo rettangolo è metà quadrato!
Pertanto
* α = π/4 = 45°
* cos(α) = cos(π/4) = 1/√2
* A2 = 10*(2*(π - α) + (√2)*cos(α)) =
= 10*(2*(π - π/4) + (√2)*1/√2) =
= 10*(1 + 3*π/2) ~= 57.1238898

a. 

Coordinate del centro 

xC = -(-4/2) = 2

yC = -(-8/2) = 4

C(2,4)

raggio r = √(a²+b²-c) = √(2²+4²-0) = 2√5

Vedi grafico allegato

 

 

b.

quadrato inscritto alla circonferenza.

Tale quadrato ha la diagonale d eguale al diametro del cerchio

d = 4√5

lato l = d*√2/2 = 2√10

 

Equazioni rette // alla y=2x. Sono del tipo y=2x+q

 

Coordinate dei punti A e B.

Intersezioni rette - circonferenza

{y=2x+q

{x²+y²-4x-8y=0 

Per sostituzione

x²+(2x+q)²-4x-8(2x+q) = 0

Le cui due soluzioni sono 

x₁ = (10-2q - √(100-q²))/5

x₂ = (10-2q + √(100-q²))/5

i punti A e B hanno quindi coordinate

A ((10-2q - √(100-q²))/5 , 2*(10-2q - √(100-q²))/5 +q)

B ((10-2q + √(100-q²))/5 , 2*(10-2q + √(100-q²))/5 +q)

Calcoliamo la distanza δ tra A e B

δ = √((xB-xA)²+(yB-yA)²) = √(4*(100-q²) / 5² + (16*(100-q²) / 5²) =

= √[20*(100-q²) / 5² = 2√5/5 * √(100-q²)

questa distanza deve valere l quindi 

2√5/5 * √(100-q²) = 2√10

per cui

q = ± 5√2

Le due rette sono y=2x± 5√2

 

 

c. 

Triangolo AOB.

Il triangolo AOB è isoscele con i tre lati pari a 2√5, 2√5, 2√10 quindi è rettangolo in O.

L'angolo AO^B settore minore = 90°

L'angolo AO^B settore maggiore = 270°

 

Area settore circolare maggiore Asc = Ac/4 = πr²3/4 = π*20*3/4 = 15π  

 

A questo occorre aggiungere l'area At del triangolo AOB

 

At = r²/2 = 2√5*2√5/2 = 10

 

Area A = 15π + 10