[Risolto] esercizio circonferenza

y = 2x + 2 = 0

2x = -2

x = -1

A = (-1,0)

Possiamo seguire il metodo classico.

Imponendo due condizioni di appartenenza a

x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

4 + 9 + 2a - 3b + c = 0

1 + 0 - a + c = 0

da cui c = a - 1

2a - 3b + a - 1 = -13

3b = 3a + 12

b = a + 4

abbiamo quindi

x^2 + y^2 + ax + (a+4) y + a - 1 = 0

che associata a

y = 2x +2

dà per risolvente

x^2 + (2x + 2)^2 + ax + (a + 4)(2x + 2) + a - 1 = 0

x^2 + 4x^2 + 8x + 4 + ax + 2ax + 2a + 8x + 8 + a - 1 = 0

5x^2 + 3ax + 16x + 3a + 11 = 0

5x^2 + (16 + 3a) x + 3a + 11 = 0

(16+3a)^2 - 20(3a+11) = 0

9a^2 + 96a + 256 - 60a - 220 = 0

9a^2 + 36a + 36 = 0

9(a^2 + 4a + 4) = 0

(a+2)^2 = 0

a = -2

c = -3

b = 2

x^2 + y^2 -2x + 2y - 3 = 0

Questo é il grafico

https://www.desmos.com/calculator/pwx5amha3e

Il resto del problema lo svolgo a rate.

a) Centro C = (-a/2, -b/2) = (1,-1)

R = (2, -3)

mCR = (-3+1)/(2-1) = -2

mr = -1 : (-2) = 1/2

y + 3 = 1/2 (x - 2)

y = 1/2 x - 4

equazione di s

y = 1/2 x + q

con

1/4 x^2 - 1/2x - q = 0

x^2 - 2x - 4q = 0

D = 4 + 16 q = 0

q = -1/4

y = 1/2 x - 1/4

https://www.desmos.com/calculator/gdfjxo12wb

Per avere la distanza rs le scriviamo in forma implicita

4y = 2x - 16

4y = 2x - 1

2x - 4y - 16 = 0

2x - 4y - 1 = 0

d = |c1 - c2|/sqrt(a^2+b^2) = |-16 + 1|/sqrt(4 + 16) = 15/(2 rad(5))=

= 15 rad(5)/(2*5) = 3/2 rad(5)

b)  Scriviamo la risolvente

1/4 x^2 = 1/2 x - 1/4

1/4 x^2 - 1/2 x + 1/4 = 0

x^2 - 2x + 1 = 0

(x - 1)^2 = 0

xS = 1 e yS = 1/4*1^2 = 1/4

La retta per R = (2,-3), S = (1, 1/4)

ha mRS = (1/4 + 3)/(1 - 2) = -13/4

e quindi la sua equazione é

y - 1/4 = -13/4 (x - 1)

y = -13/4 x + 14/4

4y + 13x - 14 = 0

13x + 4y - 14 = 0

Prima consegna
Lo zero della retta y = 2*x + 2, di pendenza due, è in Z(- 1, 0).
La retta per Z di pendenza - 1/2 è y = - (x + 1)/2, di cursore K(k, - (k + 1)/2).
* |KZ|^2 = 5*(k + 1)^2/4
quindi il fascio delle circonferenze tangenti in Z alla y = 2*x + 2 ha equazione
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y + (k + 1)/2)^2 = 5*(k + 1)^2/4
il vincolo d'appartenenza di R(2, - 3)
* (2 - k)^2 + (- 3 + (k + 1)/2)^2 = 5*(k + 1)^2/4 ≡ k = 1
soddisfà alla prima consegna con
* Γ(1) ≡ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5 ≡ x^2 + y^2 - 2*x + 2*y - 3 = 0
Seconda consegna
La polare del polo R(2, - 3) rispetto alla conica Γ(1) è
* r ≡ 2*x - 3*y - 2*(x + 2)/2 + 2*(y - 3)/2 - 3 = 0 ≡ y = (x - 8)/2
Terza consegna
Il fascio delle parallele ad r è
* s(q) ≡ y = x/2 - q
dove r ≡ s(4); fra esse si trova quella tangente la parabola y = x^2/4 dal sistema
* (y = x/2 - q) & (y = x^2/4)
imponendo che sia zero il discriminante della risolvente
* Δ(q) = 1 - 4*q = 0 ≡ q = 1/4
da cui
* s ≡ s(1/4) ≡ y = (2*x - 1)/4
* (y = (2*x - 1)/4) & (y = x^2/4) ≡ S(1, 1/4)
Risposte ai quesiti
A) la distanza tra r e s
La distanza d fra le parallele y = m*x + a ed y = m*x + b è
* d(m, a, b) = √((a - b)^2/(m^2 + 1))
Con i dati di r ed s si ha
* d(1/2, a, b) = √((- 4 - (- 1/4))^2/((1/2)^2 + 1)) = 3*√5/2
B) la retta RS
La retta r ≡ AB congiungente due dati punti A(a, p) e B(b, q) è
* per a = b: r ≡ x = a
* per p = q: r ≡ y = p
* per (p = k*a) & (q = k*b): r ≡ y = k*x
* per a != b: r ≡ y = ((p - q)/(a - b))*x + (a*q - b*p)/(a - b)
Con i dati di R ed S si ha
* RS ≡ y = (14 - 13*x)/4