Determina $a e b$ in modo che la parabola di equazione $y=a x^2+b x-1$ sia tangente allasse $x e$ abbia, nel punto di ascissa 4 , la tangente di coefficiente angolare -1 .
$$
\left(a=-\frac{1}{4}, b=1 ; a=-\frac{1}{16}, b=-\frac{1}{2}\right)
$$
Determina $a e b$ in modo che la parabola di equazione $y=a x^2+b x-1$ sia tangente allasse $x e$ abbia, nel punto di ascissa 4 , la tangente di coefficiente angolare -1 .
$$
\left(a=-\frac{1}{4}, b=1 ; a=-\frac{1}{16}, b=-\frac{1}{2}\right)
$$
311
punti
Livello 1
Vertice della parabola sull'asse x. L'equazione di secondo grado associata è il quadrato di un binomio
{b²+4a=0
{2a*4+b=-1
Moltiplicando la prima equazione per 2 e sottraendo membro a membro otteniamo:
2b² - b - 1 = 0
b=1 ; b= - 1/2 => a= - 1/4 ; a= - 1/16
77016
punti
Genius II
@stefanopescetto io non ho capito. Una condizione non è -delta/4a=0 per il vertice che ha solo ascissa?
L'altra poi non si mette a sistema la parabola con la retta tangente y=-x+4? E porre il delta uguale a zero?
Faccio il tonto e rispondo... Il discriminante dell'equazione di secondo grado associata è:
D= b² - 4*a*(-1) = b²+4a
L'equazione della retta tangente la conica nel punto di ascissa x0 ha coefficiente angolare m=2a*x0+b
Il fascio, di rette se a = 0, o di parabole se a != 0
* Γ(a, b) ≡ y = a*x^2 + b*x - 1 ≡
≡ y = a*(x + b/(2*a))^2 - (4*a + b^2)/(4*a)
ha, a pari apertura "a != 0",
* pendenze m(x) = 2*a*x + b
* assi x = - b/(2*a) paralleli all'asse y
* intercetta unica nel punto base B(0, - 1)
* vertici V(- b/(2*a), - (4*a + b^2)/(4*a))
che variano sulle parabole
* y = - (a*x^2 + 1)
---------------
Per a = 0
* Γ(b) ≡ y = b*x - 1
---------------
Per b = 0
* Γ(a) ≡ y = a*x^2 - 1
* m(x) = 2*a*x
------------------------------
"sia tangente all'asse x" ≡
≡ yV = - (4*a + b^2)/(4*a) = 0 ≡ a = - b^2/4
da cui
* Γ(b) ≡ y = (- b^2/4)*(x - 2/b)^2
* m(x) = b*(1 - b*x/2)
---------------
"abbia, per x = 4, pendenza m = - 1" ≡
≡ m(4) = m = - 1 = b*(1 - b*4/2) ≡ (b = - 1/2) oppure (b = 1)
da cui
* (a, b) = (- 1/16, - 1/2) oppure (a, b) = (- 1/4, 1)
che è il risultato atteso.
------------------------------
* Γ(- 1/16, - 1/2) ≡ y = - (x/4 + 1)^2
* T(4, - 4)
* t ≡ y = - x
---------------
* Γ(- 1/4, 1) ≡ y = - (x/2 - 1)^2
* T(4, - 1)
* t ≡ y = - (x - 3)
---------------
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D-%28x%2F4--1%29%5E2%2Cy%3D-%28x%2F2-1%29%5E2%2C%28-x-y%29*%28-%28x-3%29-y%29%3D0%5Dx%3D-13to6%2Cy%3D-5to1
57798
punti
Genius I