Esercizio 2

$ f(x) = e^{\sqrt{x+1}} $

• Dominio = [-1, +∞)
  • La funzione f(x) è continua in tutto il suo dominio
  • La funzione f(x) è continua in (-1, +∞)

• Monotonia.
  • La funzione f(x) è monotona strettamente crescente essendo composizione di due funzioni strettamente crescenti

• Immagine f(x)
  • Valore minimo dell'Immagine. f(-1) = 1.
  • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
  • Applicando il teorema dei valori intermedi (IVT)possiamo affermare che 
    • • Imm f(x) = [1, +∞)
      • cioè tutti i punti dell'intervallo sono immagine di qualche x tramite la f(x) 
      • Il teorema ci assicura che sono tutti i punti e non qualcuno.

• Invertibilità.
  • Iniettività. E' assicurata dal fatto che è monotona strettamente crescente
  • Suriettività. Una funzione è sempre suriettiva sulla sua Immagine, non è così sul Codominio.
  • La funzione f(x) è quindi bigettiva dal dominio alla sua immagine, quindi è invertibile.

• Inversa.
  • Non so che metodo usi, a me piace quello insegnato in USA e cioè:

1. Scrivi la funzione nella forma: $y = e^{\sqrt{x+1}} $
2. Scambia tra loro le variabili:  $ x = e^{\sqrt{y+1}} $
3. Risolvi in y.

$ x = e^{\sqrt{y+1}} $

$ ln(x) = \sqrt{y+1} $

$ ln^2(x) = y+1 $

$ y = ln^2(x) - 1 $ questa è la funzione inversa che può essere indicata come

$ f^{-1}(x) = ln^2(x) - 1 $