[Risolto] Esercizi sul dominio

Ciao! Allora:

1) Devi studiare quando il denominatore si annulla: $x^2+16x \neq 0 $

Puoi quindi raccogliere la $x$: $x^{2}+16 x=x  (x+16)$. Di conseguenza, affinchè il denominatore sia diverso da zero, abbiamo le due condizioni: $x \neq 0$ e $ x \neq -16$

Da cui, possiamo ricavare che il dominio è costituito da tutto l'insieme dei numeri reali, ad eccezione dei numeri per cui si annulla il denominatore: $Dom(f)= \mathbb{R}-\{0,-16\}$

2)In questo caso, il dominio è costituito dai numeri per i quali l'argomento della radice quadrata è maggiore di zero (altrimenti non esiste la radice quadrata) e per i quali la radice è diversa da zero. Possiamo quindi porre le due condizioni in un sistema di due equazioni:

$\begin{cases} x^{2}-16 \geq 0 \\ \sqrt[2]{x^{2}-16} \neq 0  \end{cases}$

da cui otteniamo:

$\begin{cases} x\leq -4 \vee x\geq 4 \\ x\neq -4 \wedge x\neq -4 \end{cases}$

La soluzione di questo sistema è quindi: $x<-4 \vee x>4$, da cui il dominio è: $(-\infty,-4) \vee (4,+\infty)$ 

3)Infine, in questo caso non dobbiamo preoccuparci del fatto che l'argomento della radice sia negativo perché stiamo considerando una radice terza. Di conseguenza, l'unica condizione da imporre è:

$\sqrt[3]{x^{3}-8 x^{2}} \neq 0$, da cui: $x^{3}-8 x^{2} \neq 0 $.

Ora possiamo raccogliere $x^{2}$: $x^{2} (x-8) \neq 0$. Otteniamo quindi:

$x \neq 0 \wedge x \neq -8$. Il dominio è quindi: $Dom(f)= \mathbb{R} -\{0,-8\}$