2) 2 rette sono perpendicolari se il prodotto dei coefficienti angolari (coefficienti della x) è uguale a -1. Per prima cosa riscriviamo la retta 2x+y=5 come y=-2x+5. Le perpendicolari a questa retta sono quindi della forma y=1/2x+q (dove q è un numero).
La perpendicolare deve passare per il punto (-5 ; 3), per cui sostituiamo nella nostra retta y=1/2x+q il valore -5 alla x e il valore 3 alla y: otteniamo quindi 3=1/2*(-5)+q.
Risolviamo l'equazione e troviamo che q=11/2, quindi la retta è y=1/2x+11/2.
Il piede della perpendicolare è il punto dove si incontrano le due rette perpendicolari: la prima, data dal testo, è y=-2x+5, mentre la seconda è y=1/2x+11/2. Risolviamo il sistema di queste due equazioni e otteniamo come soluzioni x=-1/5 e y=27/5, per cui il piede della perpendicolare è il punto (-1/5 ; 27/5).
3) Per prima cosa riscriviamo le due rette in questo modo: y=-3/4x-3 e y=-3/4x-3/2. Per trovare la distanza fra le rette parallele bisogna costruire la perpendicolare in un punto qualsiasi e calcolare la lunghezza del segmento che unisce i due piedi.
Quindi troviamo una qualsiasi retta perpendicolare, ad esempio y=4/3x, e calcoliamo i due piedi (come nell'esercizio precedente), risolvendo il sistema che unisce y=-3/4x-3 e y=4/3x (che dà come soluzioni x=-36/25 e y=-48/25) e il sistema che unisce y=-3/4x-3/2 e y=4/3x (che dà come soluzioni x=-18/25 e y=-24/25).
A questo punto abbiamo i 2 punti (-36/25 ; -48/25) e (-18/25 ; -24/25) di cui vogliamo calcolare la distanza. Applichiamo la formula per la distanza fra 2 punti:
radice quadrata di (-18/25-(-36/25))^2+(-24/25-(-48/25))^2, che è uguale a 6/5.
4) Questo esercizio è un po' più difficile degli altri: Per prima cosa devi trovare le rette che definiscono due lati del triangolo, ad esempio AB e AC. Per prima cosa devi trovarti la retta passante per il punto A (-2 ; -1) e per il punto B (1 ; 3), tramite la formula (x-xA)/(xB-xA)=(y-yA)/(yB-yA).
Quindi otteniamo la retta (x-(-2))/(1-(-2))=(y-(-1))/(3-(-1)), ovvero y=4/3x+5/3. Ripetiamo la stessa cosa con i punti A (-2 ; -1) e C (6 ; 1): otteniamo y=1/4x-1/2.
A questo punto calcoliamo la retta che definisce l'altezza relativa al segmento AB: è la retta perpendicolare ad AB che passa per il punto C, ovvero la perpendicolare a y=4/3x+5/3 passante per (6 ; 1). Secondo lo stesso metodo dell'esercizio 2 troviamo la perpendicolare alla retta, che è della forma y=-3/4x+q e sostituiamo alla x il valore 6 e alla y il valore 1. Risolviamo quindi l'equazione 1=-3/4*6+q, ottenendo q=11/2, quindi la retta che definisce l'altezza relativa ad AB è y=-3/4x+11/2.
Ripetiamo la stessa cosa con l'altezza relativa a AC (passa per il punto B) e otteniamo la retta y=4x-1. A questo punto dobbiamo trovare l'intersezione fra le due altezze, quindi risolviamo il sistema che unisce le equazioni y=-3/4x+11/2 e y=4x-1, ottenendo x=26/19 e y=85/19, per cui l'ortocentro è il punto (26/19 ; 85/19). Per un'ulteriore verifica puoi rifare l'esercizio scegliendo due lati di partenza differenti.