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[Risolto] Esercizi disequazioni binomie

  

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a) $x^3+125<0$

b)$x^5+32>0$

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a) Per scomporre il binomio $x^3+125$, ricordiamo il prodotto notevole

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2), a,b$ $\mathbb {R}$

Dove $a^2-ab+b^2$ è un trinomio con $\Delta \lt  0$

Nel nostro caso è:

$x^3+125=(x+5)(x^2-5x+25)$

da cui

$x^3+125 \lt 0$ per $x+5 \lt 0$

La disequazione è verificata per $x \lt -5$

b) Risolviamo l’equazione binomia associata:

$x^5+32=0 \rightarrow x^5=-32$ $\rightarrow$ $x=\sqrt[5]{-32} =-2$

Il segno del binomio $x^5+32$ coincide con il segno del $x+2$

La disequazione è verificata per $x\gt -2$

@simon Grazie mille!



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1) x³+125<0 

Essendo l'esponente della x dispari, basta trasportare il termine noto a secondo membro ed estrarre la radice terza

x³<-125

x<-5

2) x⁵+32>0

Stesso ragionamento anche qua, estraendo però la radice quinta 

x⁵>-32

x>-2

 

 



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Il fatto che una disequazione abbia una diseguaglianza d'ordine impone che i due membri siano entrambi reali (o entrambi immaginarii), visto che i complessi non sono ordinabili.
La disequazione "somma di potenze dispari ORD zero" [ORD in {<, <=, >=, >}]
* x^(2*k + 1) + c^(2*k + 1) ORD 0
ha sempre una soluzione reale perché
* x^(2*k + 1) + c^(2*k + 1) = (x + c)*(polinomio di grado 2*k)
da cui la soluzione reale
* x ORD - c
------------------------------
ALTERNATIVAMENTE
* x^(2*k + 1) + c^(2*k + 1) ORD 0 ≡
≡ x^(2*k + 1) ORD - c^(2*k + 1)
e, se c è reale, fra le (2*k + 1) radici (2*k + 1)-me di - c^(2*k + 1) c'è "- c" che è reale.
==============================
NEI CASI IN ESAME
------------------------------
a) x^3 + 125 < 0 ≡ x^3 < - 5^3 ≡ x < - 5
------------------------------
b) x^5 + 32 > 0 ≡ x^5 > - 2^5 ≡ x > - 2



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