Esercizi di Matematica e Fisica

Non l'hai mica letto il
https://www.sosmatematica.it/regolamento/
di questo sito, vero? Si capisce dal fatto che hai titolato al plurale e non hai trascritto e ne hai allegati tre!
UNO SOLO!
Scelgo il #2, il più banale.
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Le funzioni dei due rami di y = f(x)
* (x < 1) & (y = a*x^2 + 3/2) oppure (x >= 1) & (y = e^(b - x))
sono continue e derivabili ovunque con pendenze
* (x < 1) & (y' = 2*a*x) oppure (x >= 1) & (y' = - e^(b - x))
quindi per soddisfare alla consegna occorre e basta imporre che, all'ascissa x = 1 di giunzione, i due rami abbiano eguali sia l'ordinata che la pendenza.
* (y = a*1^2 + 3/2 = e^(b - 1)) & (y' = 2*a*1 = - e^(b - 1)) ≡
≡ (a + 3/2 = e^(b - 1)) & (2*a = - e^(b - 1)) ≡
≡ (a = - 1/2) & (b = 1)
da cui
* (x < 1) & (y = (3 - x^2)/2) oppure (x >= 1) & (y = e^(1 - x))
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=piecewise%5B%7B%7B%283-x%5E2%29%2F2%2Cx%3C1%7D%2C%7Be%5E%281-x%29%2Cx%3E%3D1%7D%7D%5D