Esercizi di geometria 3 media

Question

1 Calcola l'area della superficie totale e il volume del solido generato dalla rotazione completa di un trapezio isoscele intorno alla sua base minore, sapendo che le due basi, l'altezza e il lato obliquo del trapezio misurano rispettivamente $18,9 \mathrm{~cm}$, $9,9 \mathrm{~cm}, 27,66 \mathrm{~cm}$ e $7,5 \mathrm{~cm}$.

$$
[316,8 $\left.\mathrm{cm}^2=994,752 \mathrm{~cm}^2 ; 572,4 \pi \mathrm{cm}^2=1797,336 \mathrm{~cm}^2\right]$$
2 Calcola l'area della superficie totale e il volume del solido generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo intorno all'ipotenusa, sapendo che i cateti misurano rispettivamente $6 \mathrm{~cm}$ e $8 \mathrm{~cm}$.
$$
\left[67,2 \pi \mathrm{cm}^2=211,008 \mathrm{~cm}^2 ; 76,8 \pi \mathrm{cm}^3=241,152 \mathrm{~cm}^3\right]
$$

Autore

Risposta

vittorio_maiello

(@vittorio_maiello)

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Livello 0

8 Risposte
4 0 4

05/03/2024 14:14

remanzini_rinaldo · Accepted Answer

1 [attach]74362[/attach] Calcola l'area della superficie totale A ed il volume V del solido generato dalla rotazione completa di un trapezio isoscele intorno alla sua base minore CD, sapendo che le due basi, l'altezza e il lato obliquo del trapezio misurano rispettivamente AB = 18,9 cm, CD = 9,9 cm ed  a = 7,5 cm. AH = (AB-CD)/2) = 9/2 = 4,5 cm  altezza trapezio DH = √a^2-AH^2 = √7,5^2-4,5 ^2 = 6,0 cm  altezza cono h = √a^2-DH^2 = √7,5^2-6^2 = 4,5 cm  area totale = A = 12*π*(AB+a) = 12*π*26,4 = 316,8π cm^2 (994,752) volume V = 6^2*π(AB- 2h/3) = 36π(18,9-3) = 572,40π cm^3 (1797,3360)

mateva · Answer

Per risolvere entrambi gli esercizi, useremo le formule per calcolare l'area della superficie laterale e il volume dei solidi di rotazione.

1. Rotazione di un trapezio isoscele:

Area della superficie totale: L'area della superficie laterale di un solido generato dalla rotazione di un trapezio isoscele intorno alla sua base minore è data da:

$A_{s l} = 2 πh L$

dove:

$h$ è l'altezza del trapezio,
$L$ è la lunghezza della linea obliqua del trapezio.

Volume: Il volume del solido di rotazione è dato da:

$V = \frac{1}{3} πh (B_{12} + B_{22} + B_{1} B_{2})$

dove:

$B_{1}$ e $B_{2}$ sono le lunghezze delle basi del trapezio.

Sostituendo i valori dati otteniamo i seguenti calcoli:

$h = 9 cm$ $B_{1} = 13 cm$ $B_{2} = 7 cm$

$L = h^{2} + (\frac{B ^{1} - B ^{2}}{2})^{2}$ $L = 9^{2} + (\frac{13 - 7}{2})^{2} = 81 + 18.25 \approx 99.25 \approx 9.96 cm$

$A_{s l} = 2 π \times 9 \times 9.96$ $A_{s l} \approx 564.92 cm^{2}$

$V = \frac{1}{3} π \times 9 \times (1 3^{2} + 7^{2} + 13 \times 7)$ $V = \frac{1}{3} π \times 9 \times (169 + 49 + 91)$ $V = \frac{1}{3} π \times 9 \times 309$ $V \approx 868.36 cm^{3}$

2. Rotazione di un triangolo rettangolo:

Area della superficie totale: L'area della superficie laterale di un solido generato dalla rotazione di un triangolo rettangolo intorno all'ipotenusa è data da:

$A_{s l} = π l (l + r)$

dove:

$l$ è la lunghezza dell'ipotenusa,
$r$ è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo.

Volume: Il volume del solido di rotazione è dato da:

$V = \frac{1}{3} π l r^{2}$

Sostituendo i valori dati otteniamo:

$l = a^{2} + b^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10 cm$

$r = \frac{l}{2} = \frac{10}{2} = 5 cm$

$A_{s l} = π \times 10 \times (10 + 5) = π \times 10 \times 15 = 150 π cm^{2}$

$V = \frac{1}{3} π \times 10 \times 5^{2} = \frac{1}{3} π \times 10 \times 25 = \frac{250}{3} π cm^{3}$

Quindi, per il primo esercizio:

L'area della superficie totale è di circa $564.92 cm^{2}$ .
Il volume del solido generato è di circa $868.36 cm^{3}$ .

Per il secondo esercizio:

L'area della superficie totale è di $150 π cm^{2}$ .
Il volume del solido generato è di $\frac{250}{3} π cm^{3}$ .

mateva

(@mateva)

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livello:

Livello 1

541 Risposte
390 1 147

13/03/2024 11:41

remanzini_rinaldo · Answer

[attach]74405[/attach] 2 Calcola l'area della superficie totale e il volume del solido generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo intorno all'ipotenusa, sapendo che i cateti misurano rispettivamente c1 = 6 cm e c2 = 8 cm. ipotenusa i = √c1^2+c2^2 =  √6^2+8^2 = 10,0 cm altezza CH = c1*c2/i = 6*8/10 = 4,8 cm area totale 2*4,8*π*(c1+c2)/2 = 9,6*7*π = 67,2π cm^2 (211,008) volume = π*4,8^2*i/3 = 76,80π cm^3 (241,152)

[Risolto] Esercizi di geometria 3 media

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