[Risolto] Esercizi di fisica carrucole

m1 = 3 kg sale verso l'alto.

m2 = 7 kg scende verso il basso:

Momento d'inerzia carrucola:

I = 1/2 m r^2 = 1/2 * 2 * 0,15^2 = 0,0225 kgm^2;

Sulla carrucola agiscono le due tensioni che la fanno ruotare in senso orario, dalla parte di m2 = 7 kg.

Momento della forza risultante: M = I * alfa;

alfa = accelerazione angolare della carrucola.

r * (T2 - T1) = I * alfa;

a = alfa * r; accelerazione lineare.

alfa = a/r

Sul corpo 1 agiscono la tensione verso l'alto e forza peso verso il basso:

T1 - m1 * g = + m1 * a;

Sul corpo 2:

T2 - m2 * g = - m2 * a; Il corpo m2 scende.

T1 =3 * a + 3 * 9,8;

T2 = 7 * 9,8 - 7 * a;

r * (T2 - T1) = I * a/r;

r^2 * ( 7 * 9,8 - 7 * a - 3 * a - 3 * 9,8) = 0,0225 * a;

0,15^2 * (68,6 - 7 a - 3 a - 29,4) = 0,0225 * a;

0,0225 * ( 39,2 - 10 a) = 0,0225 * a;

39,2 - 10 a = a;

11 a = 39,2;

a = 39,2/11 = 3,56 m/s^2; (accelerazione lineare verso il basso, quindi negativa per il corpo m2 = 7 kg);

a = - 3,56 m/s^2;

a è positiva per il corpo 1 che sale verso l'alto.

alfa = - 3,56 / 0,15 = - 23,76 rad/s^2, (accelerazione angolare della carrucola che ruota in senso orario, quindi alfa è negativa).

h = 1/2 a t^2;

t = radice(2 h / a) = radice(2 * 1,5 /3,56) = 0,92 s;

v = a * t = - 3,56 * 0,92 = - 3,27 m/s (velocità finale verso il basso);

T1 = 3 * a + 3 * 9,8 = 3 * (3,56 + 9,8) = 40 N;

T2 = 7 * 9,8 - 7 * a = 7 * (9,8 - 3,56) ) = 43,7 N.

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questo è il mio blog di fisica.

Ciao

Caso della carrucola di massa non trascurabile

Due masse rispettivamente di 3 kg e 7 kg sono appese tramite una fune di massa trascurabile a una carrucola e si trovano inizialmente ferme a 1,5 m dal terreno. Considerata la carrucola come un disco di raggio 15 cm e di massa 2 kg, calcola:

- L'accelerazione angolare della carrucola e l'accelerazione lineare delle masse una volta lasciate cadere;
- il tempo impiegato dalla massa di 7 kg a raggiungere terra;
- la velocità d'impatto col terreno; la tensione della fune nei due tratti.

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Il sistema equivale ad una macchina di Atwood con carrucola di massa non trascurabile, l’accelerazione del sistema è:

a=g*(M2-M1)/(M1+M2+1/2*Mc)= 9.81·(7 - 3)/(3 + 7 + 1/2·2) = 3.567 m/s^2

L’accelerazione angolare della carrucola è legata all’accelerazione tangenziale e di conseguenza all’accelerazione del sistema che è quella appena calcolata.

α·r = a----à α = a/r= 3.567/0.15 = 23.78 rad/s^2

Il tempo impiegato dalla massa di 7 kg a raggiungere terra è:

s = 1/2·a·t^2 ----à t = √(2·s/a) = t = 0.917 s

Velocità di impatto:

v=a*t=3.567·0.917 = 3.271 m/s

Tensioni T1 e T2:

T1=M1*a+M1*g=3·3.567 + 3·9.81 = 40.131 N

T2=M2*g-M2*a=7·9.81 - 7·3.567 = 43.701 N

massa puleggia mp = 2 kg

massa equivalente puleggia mpe (da sommare alle masse traslanti per la sola inerzia) = mp/2 = 1 kg

forza motrice Fm = g*(7-3) = 4g

accelerazione lineare a = Fm/mtot = 4g/(7+3+1) = -9,80*4/11 = -3,564 m/sec^2

2h = a*t^2

tempo t = √2h/a = √(0-3,00)/-3,564 = 0,918 sec 

veloc. finale Vf = a*t = -3,564*0,918 = -3,27 m/sec 

acceler. angolare α = a/r = -3,56/0,15 = -23,8 rad/sec^2 

oppure :

ωf = V/r = -3,27/0,15 = -21,8 rad/sec 

acceler. angolare α = (ωf -0)/t = -21,8/0,918 = -23,8 rad/sec^2

T7 = 7(g-a) = 7*(-9,8+3,56) = -43,7 N (down)

T3 = 3(-g-a) = 3*(9,8+3,56) = 40,1 N (up)

T7-T3 = TP = 3,6 N (quel che serve per accelerare la puleggia)

coppia C = Tp*r = 3,6*0,15 = 0,540 N*m 

mom. d'inerzia puleggia J = m/2*r^2 = 1*0,15^2 = 0,0250 kg*m^2 

acceler. angolare α = C/J = 0,540/0,0250 = 24,0 rad/sec ^2

come vedi la differenza tra 24 e 23,8 è minima ed è dovuta agli arrotondamenti di calcolo