Esercizi

Per determinare le rette tangenti alla parabola \( y = -x^2 - 2x + 7 \) che passano per il punto \( C(0, 11) \), seguiamo questi passaggi:

### Passo 1: Derivata della parabola
Calcoliamo la derivata della parabola per trovare la pendenza della tangente in un punto generico \( (x_0, y_0) \).

La derivata \( y' \) della funzione è:

\[
y' = -2x - 2
\]

### Passo 2: Equazione della tangente
L'equazione della tangente al punto \( (x_0, y_0) \) è data da:

\[
y - y_0 = m (x - x_0)
\]

Dove \( m = y' \) al punto di tangenza. Sostituiamo \( y_0 \) con l'equazione della parabola:

\[
y_0 = -x_0^2 - 2x_0 + 7
\]

### Passo 3: Impostare l'equazione della tangente che passa per C(0, 11)
Sostituendo questa espressione nell'equazione della tangente e imponendo che la tangente passa per \( (0, 11) \):

\[
11 - (-x_0^2 - 2x_0 + 7) = (-2x_0 - 2)(0 - x_0)
\]

Semplificando:

\[
11 + x_0^2 + 2x_0 - 7 = (2x_0 + 2)x_0
\]

\[
x_0^2 + 2x_0 + 4 = -2x_0^2 - 2x_0
\]

### Passo 4: Riordino dell'equazione
Portiamo tutto a un solo lato:

\[
x_0^2 + 2x_0 + 4 + 2x_0^2 + 2x_0 = 0
\]
\[
3x_0^2 + 4x_0 + 4 = 0
\]

### Passo 5: Risolvere l'equazione quadratica
Utilizziamo la formula del discriminante per trovare i punti di tangenza.

Il discriminante \( D \) è dato da:

\[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 - 48 = -32
\]

Poiché il discriminante è negativo, significa che non ci sono reali punti di tangenza e quindi non ci sono rette tangenti alla parabola che passano per il punto \( C(0, 11) \).

### Conclusione
Non esistono rette tangenti alla parabola \( y = -x^2 - 2x + 7 \) che passano attraverso il punto \( C(0, 11) \). Di conseguenza, non possiamo calcolare le coordinate dei punti di tangenza o l'area del triangolo \( ABC \).