[Risolto] esercitazione

@lukegemini

Ciao, di nuovo.

La funzione: z = x^3 + y^3 - 3/2·x^2 - 3·y è rappresentata da un polinomio di 3° grado nelle due variabili e. come per le funzioni di una sola variabile non ammette max e né min assoluti.

Andiamo quindi a ricercare nel suo C.E. R^2 i punti critici precisando poi la loro natura.

Applichiamo le C.N.:

{Z'x=0

{Z'y=0

quindi

{3·x^2 - 3·x = 0

{3·y^2 - 3 = 0

Risolviamo ed otteniamo 4 punti critici:

[x = 0 ∧ y = 1, x = 0 ∧ y = -1, x = 1 ∧ y = 1, x = 1 ∧ y = -1]

Per sapere la loro natura, dobbiamo considerare l'Hessiano H(x,y) composto dalle derivate parziali seconde della funzione, che fornisce le C.S. a tale scopo:

| Z''xx..........Z''xy|

|Z''yx...........Z''yy|

Nel nostro caso:

Z''xx=6·x - 3 ;   Z''xy=Z''yx=0; Z''yy=6·y

Quindi otteniamo:  H(x,y)=18·y·(2·x - 1)

Abbiamo quindi:

H(0,1)=-18<0 punto di sella

H(0,-1)=18 >0 e Z''xx=-3<0 max rel

H(1,1)=18>0 e Z''xx=3 >0 min rel

H(1,-1)=-18<0 punto di sella

Con WOLFRAMALPHA:

La presenza di "x^3 + y^3" nega l'esistenza di estremi assoluti.
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Per i punti critici si fa il test delle derivate prime annullando il gradiente
* nabla[x^3 + y^3 - (3/2)*x^2 - 3*y] = {3*(x - 1)*x, 3*(y^2 - 1)}
* (3*(x - 1)*x = 0) & (3*(y^2 - 1) = 0) ≡
≡ ((x = 0) oppure (x = 1)) & ((y = - 1) oppure (y = 1)) ≡
≡ A(0, - 1) oppure B(1, - 1) oppure C(1, 1) oppure D(0, 1)
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Per classificarli si fa il test delle derivate seconde: costruire la matrice hessiana H(x, y); calcolare il determinante hessiano h(x, y) = det[H(x, y)]; valutare h(x, y) nei punti critici; decidere sui potenziali estremi valutando H[1, 1].
HESSIANA/O
* nabla[3*(x - 1)*x] = {3*(2*x - 1), 0}
* nabla[3*(y^2 - 1)] = {0, 6*y}
* H(x, y) = {{3*(2*x - 1), 0}, {0, 6*y}}
* h(x, y) = 18*(2*x - 1)*y
VALUTAZIONI
* A: h(0, - 1) = 18*(2*0 - 1)*(- 1) = + 18 > 0 (estremo)
* B: h(1, - 1) = 18*(2*1 - 1)*(- 1) = - 18 < 0 (punto di sella)
* C: h(1, 1) = 18*(2*1 - 1)*1 = + 18 > 0 (estremo)
* D: h(0, 1) = 18*(2*0 - 1)*1 = - 18 < 0 (punto di sella)
DECISIONI
* A: H[1, 1](0, - 1) = 3*(2*0 - 1) = - 3 < 0 (massimo relativo)
* C: H[1, 1](1, 1) = 3*(2*1 - 1) = + 3 > 0 (minimo relativo)