[Risolto] esercitazione de l Hopital

Ci sto pensando, mi piacerebbe trovare un metodo più semplice e lineare

Trovato!

Prima di tutto cambiamo la scrittura:

$ \lim_{x \to - \infty} x ln (e^x + 1) =\lim_{x\to - \infty } \frac {ln (e^x + 1)}{\frac 1 {x}} $

Applichiamo quindi il T. di De l'Hopital:

$\lim_{x\to - \infty } \frac {ln (e^x + 1)}{\frac 1 {x}} = \lim_{x\to - \infty } \frac {\frac {e^x}{e^x + 1}}{- \frac {1} {x^2}} $

Portiamo ad una scrittura più "igienica":

$ \lim_{x\to - \infty } \frac {\frac {e^x}{e^x + 1}}{- \frac {1} {x^2}} = \lim_{x\to - \infty } - \frac {x^2 e^x}{e^x+1} $

A questo punto cambiamo nuovamente la scrittura e calcoliamo:

$ \lim_{x\to - \infty } - \frac {x^2 e^x}{e^x+1} = \lim_{x \to -\infty} - \frac {\frac {x^2}{e^{-x}}}{e^x + 1} = - \frac 0 1 $ = 0

(NB nel rapporto a numeratore si potrebbe usare De l'Hopital oppure utilizzare gli ordini di infinito)

In caso di dubbi su alcuni passaggi resto a disposizione

 

lim_x-> -oo   x ln ( 1 + e^x ) =

< cambio di variabile >

= lim_x-> +oo ( - x ln ( 1 + e^(-x) )

é una forma indeterminata oo*0.

Se x->+oo , allora e^(-x)->0

e poiché lim_u->0 ln(1 + u)/ u = 1,

lo riconduci a lim_x->+oo   - x * e^(-x) =

= - lim_x->+oo x/e^x

che é indeterminato del tipo oo/oo

Applicando la regola di De L'Hospital

- lim_x->+oo  1/e^x = - "1/+oo" = 0.

Aggiunta

Per una strategia che usi solo la Regola di De L'Hospital

lo riscrivi  lim_x->-oo ln (1 + e^(x))/(1/x)

come fa Symbolab.

 

lim_x->-oo   e^x/(1+ e^x) : (-1/x^2) =

 

= - lim_x->-oo x^2 e^x/(1+ e^x) =

= - lim_x->oo x^2 e^x =

= - lim_x->+oo  x^2 e^(-x) =

= - lim_x->+oo x^2/e^x =

= - lim_x->+oo 2x / e^x =

= -2 lim_x->+oo 1/e^x =

= -2 * "1/+oo" = 0