[Risolto] Es. su equazione dell'ellisse

Se non è specificato il centro di simmetria, allora la risposta è esistono infinite ellissi che soddisfano le condizioni richieste. 

Se il centro di simmetria è l'origine 

Dalla condizione di appartenenza del punto alla conica si ricava 

{1/b² = (a²-4)/a²

Formule di sdoppiamento:

Il coefficiente angolare della retta tangente la conica nel punto dato ha coefficiente angolare

{m= 2b²/a²

Mettendo a sistema le due condizioni si ricavano i valori 

a²=6, b²=3

Quindi l'ellisse CON CENTRO DI SIMMETRIA O, ha equazione

x²/6 + y²/3 = 1

A fronte della consegna di «scrivere l'equazione dell'ellisse» AL SINGOLARE fornendo condizioni buone a vincolare sì e no un paio dei sei parametri da determinare il presidente De Gaulle avrebbe commentato "Vasto programma!" come disse a quello che gli gridò "Morte ai coglioni!".
Tanto per farti capire l'importanza di scrivere (già nella domanda originale, non nei commenti successivi!) TUTTE le informazioni rilevanti ti illustro un po' dell'indeterminatezza dovuta alla raffazzonaggine del testo pubblicato.
E mi limito ad citare un sottinsieme senza troppi calcoli!
La condizione «tangente nel punto A(2;-1) alla retta di equazione y=x-3» impone due vincoli.
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Nell'equazione in forma normale standard della generica ellisse non ruotata
* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
ci sono solo quattro parametri e non sei: semiassi (a, b) e coordinate del centro C(α, β).
Tu ne fissi due a casaccio e i due vincoli, di appartenenza e di tangenza, fissano gli altri due (se possono esistere: la scelta può essere inopportuna).
Oppure tu ne fissi uno solo, i vincoli due, e ne resta uno libero per generare un fascio.