A. decide di investire i suoi risparmi sottoscrivendo il contratto :" tasso di interesse composto del 4% con capitalizzazione a tre mesi", ciò significa che ogni tre mesi la sua banca gli accrediterà il 4% del denaro presente sul suo conto in quel momento e che questi soldi andranno a sommarsi al capitale di € 156 250. Le condizioni del contratto di G. invece sono : capitale: €175 760 tasso di interesse : 4% capitalizzazione : 1 anno.
Dopo quanto tempo il capitale di A. uguaglierà quello di G?
12
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Livello 0
@piee ...quando vieni a conoscenza del nome di siffatta banca, sei pregato di farmelo sapere😉
@piee ....legere et non intelligere : questo è il tuo problema 🤭
A(t) = 156 250 * (1 + 0.04)^(t/(1/4)) t in anni
G(t) = 175 760 * (1 + 0.04)*t
sono uguali quando
156250 * 1.04^(4t) = 175760 * 1.04^t
1.04^(3t) = 17576/15625
1.04^(3t) = 1.124864
1.04^(3t) = 1.04^3
3t = 3
t = 1 anno o 12 mesi
37606
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Livello 6
M = C(1+i)^(4n)
M = C'(1+i)^n
156.250*k = 175.760*k'
k/k' = 175.760/156.250 = 1,124864
a^4n = (a^n)*1,124864
4n*log a = n*log a + log 1,124864
n*4*0,017033339 = n*0,017033339+0,0511000
0,0681333*n = n*0,0170333+0,0511000
n(0,0681333-0,0170333) = 0,0511000
0,0511000*n = 0,0511000
n = 1,0000 anni
97460
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Genius II
MAI
I capitali restano costanti: 156250 € di Ambra e 175760 € di Gloria.
A seguire il modello esponenziale sono i montanti, non i capitali.
Per confontare i montanti e rilevare l'istante dell'eguaglianza occorre riportare al periodo maggiore (Gloria, un anno) la capitalizzazione col periodo minore (Ambra, un quarto d'anno) cioè calcolare a quale tasso annuo t corrispondono quattro capitalizzazioni trimestrali al 4%
* t = (1 + 4%)^4 - 1 = (26/25)^4 - 1 = 66351/390625 ~= 0.16985856
Quindi, allo scadere dell'anno x il montante di Ambra
* A(x) = 156250*((26/25)^4)^x
e quello di Gloria
* G(x) = 175760*(26/25)^x
saranno eguali.
Il valore di x è la radice dell'equazione che esprime l'intersezione delle due funzioni esponenziali.
* 156250*((26/25)^4)^x = 175760*(26/25)^x ≡
≡ (26/25)^(3*x) = 175760/156250 = 17576/15625 = (2^3)*13^3/5^6 ≡
≡ log(26/25, (26/25)^(3*x)) = log(26/25, (2^3)*13^3/5^6) ≡
≡ 3*x = log(26/25, (2^3)*13^3/5^6) ≡
≡ x = log(26/25, (2^3)*13^3/5^6)/3 ≡
≡ x = log(26/25, ((2^3)*13^3/5^6)^(1/3)) ≡
≡ x = log(26/25, 2*13/5^2) = log(26/25, 26/25) = UN ANNO
51941
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Genius I
