Determina $a$ e $b$ in modo che la funzione $y=\frac{x^2+a}{x+b}$ abbia un punto di massimo relativo per $x=-1$ e un punto di minimo relativo per $x=2$.
$$
\left[a=2, b=-\frac{1}{2}\right]
$$
Potete aiutarmi con l' esercizio 215? Grazie se potete spiegarmi tutti i passaggi grazie.
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Livello 2
Cominciamo a determinare la derivata
y' = [2x(x+b) - (x^2+a)]/(x + b)^2 =
= (2x^2 + 2bx - x^2 - a)/(x + b)^2 =
= (x^2 + 2bx - a)/(x + b)^2
Questa si deve annullare per x = -1 e x = 2
il numeratore deve pertanto riprodurre
(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2
da cui per il principio di identità dei polinomi
2b = -1 e - a = -2 => a = 2 e b = -1/2
configurazione accettabile perché b non annulla il denominatore
nei punti che si vogliono stazionari.
Rimane da verificare che gli estremi si trovino effettivamente dove richiesto
y' = (x-1)(x-2)/(x + 1/2)^2 é negativa nell'intervallo interno
e positiva negli intervalli esterni alle radici.
Al passaggio per x = 1 quindi y' passa da + a - e questo
individua un massimo. Per x = 2 la y' passa da - a + e si ha
pertanto un minimo.
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Livello 7
