Il punto cursore della bisettrice dei quadranti dispari è P(u, u).
Per il punto P passano tutte e sole le rette
* x = u, parallela all'asse y;
* p(k) ≡ y = u + k*(x - u), per ogni pendenza k reale.
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Le rette date
* r ≡ 2*x - y = 0 ≡ y = 2*x, di pendenza 2
* s ≡ x + y + 2 = 0 ≡ y = - x - 2, di pendenza - 1
hanno perpendicolari per P di pendenze, rispettivamente, - 1/2 e + 1
* p(- 1/2) ≡ y = u + (- 1/2)*(x - u) ≡ y = (3*u - x)/2
* p(1) ≡ y = u + 1*(x - u) ≡ y = x
che le intersecano nelle soluzioni di
* (y = 2*x) & (y = (3*u - x)/2) ≡ H(3*u/5, 6*u/5)
* (y = - x - 2) & (y = x) ≡ K(- 1, - 1)
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Con le distanze
* |PH| = |u|/√5
* |PK| = (√2)*|u + 1|
si forma la combinazione lineare
* (√5)*|PH| + (√2)*|PK| = (√5)*|u|/√5 + (√2)*(√2)*|u + 1| = |u| + 2*|u + 1|
da cui quanto richiesto
1) "espressione analitica della funzione f(x) = (√5)*|PH| + (√2)*|PK|"
* f(x) = y = |x| + 2*|x + 1|
somma di due moduli di espressioni lineari quindi con il minimo nel punto angoloso V1(- 1, 1) in cui si annulla l'addendo maggiore e il secondo punto angoloso V2(0, 2) dove si annulla il minore
2) e il suo grafico, una spezzata costituita dalle semirette all'esterno dei vertici e dal segmento che li congiunge.
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=plot%5By%3D4%2Cy%3D%7Cx%7C%2B2*%7Cx%2B1%7C%2C%7Bx%2C-3%2C2%7D%2C%7By%2C0%2C7%7D%5D
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Per soddisfare all'ultima consegna, f(x) >= 4, si deve avere presente che eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
a) |a| <= b ≡ (- b <= a <= b) ≡ (- b <= a) & (a <= b) [intersezione]
b) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) || (a = + b) [unione]
c) |a| >= b ≡ (a <= - b) || (b <= a) [unione]
e analoghe per le diseguaglianze strette.
Le dis/equazioni con più valori assoluti si trattano ripetendo il trattamento di un valore assoluto per volta con la sequenza {isolare, sdoppiare}. Occorre riscrivere tutte le espressioni prima isolando un |modulo| in ciascuna, poi eliminandolo, e infine, prima di riciclare, cercando di sostituire tutte quelle ormai prive di |moduli| con la loro implicazione più stretta.
Pertanto
* f(x) = y = |x| + 2*|x + 1| >= 4 ≡
≡ |x + 1| >= (4 - |x|)/2 ≡
≡ (x + 1 <= - (4 - |x|)/2) oppure ((4 - |x|)/2 <= x + 1) ≡
≡ (|x| >= 2*(x + 3)) oppure (|x| >= - 2*(x - 1)) ≡
≡ (x <= - 2*(x + 3)) oppure (2*(x + 3) <= x) oppure (x <= 2*(x - 1)) oppure (- 2*(x - 1) <= x) ≡
≡ (x <= - 2) oppure (x <= - 6) oppure (x >= 2) oppure (x >= 2/3) ≡
≡ (x <= - 2) oppure (x >= 2/3)
