Scrivi l'equazione della parabola avente vertice in $V(2,-3)$, asse parallelo all'asse $y$, passante per il punto $P(3,-1)$. Determina i vertici del rettangolo di perimetro 7 inscritto nella regione finita di piano limitata dalla parabola e dall'asse $x$.
$$
\left[y=2 x^2-8 x+5 ;\left(\frac{3}{2},-\frac{5}{2}\right),\left(\frac{5}{2},-\frac{5}{2}\right),\left(\frac{3}{2}, 0\right),\left(\frac{5}{2}, 0\right)\right]
$$
potreste svolgerlo, vi ringrazio.
92
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Livello 1
La generica parabola
* Γ ≡ y = yV + a*(x - xV)^2
diventa, per V(2, - 3),
* Γ ≡ y = a*(x - 2)^2 - 3
e, per l'appartenenza di P(3, - 1),
* - 1 = a*(3 - 2)^2 - 3 ≡ a = 2 > 0 → concavità verso y > 0
si individua in
* Γ ≡ y = 2*(x - 2)^2 - 3 ≡
≡ y = 2*(x - (2 - √(3/2)))*(x - (2 + √(3/2))) ≡
≡ y = 2*x^2 - 8*x + 5
---------------
Per 0 < k < √(3/2) ~= 1.22 le rette
* r(k) ≡ x = 2 ± k
intersecano
* l'asse x in (2 ± k, 0)
* la parabola Γ in (2 ± k, 2*k^2 - 3)
individuando un rettangolo con
* base sull'asse x: b = 2*k
* altezza sulle r(k): b = 2*k^2 - 3
* perimetro p = 2*(2*k + 2*k^2 - 3) = 4*k^2 + 4*k - 6
---------------
Per soddisfare alla consegna "Determina i vertici ..." occorre anzitutto risolvere
* (4*k^2 + 4*k - 6 = 7) & (0 < k < √(3/2)) ≡
≡ (k^2 + k - 13/4 = 0) & (0 < k < √(3/2)) ≡
≡ (k = - 1/2 ± √(7/2)) & (0 < k < √(3/2)) ≡
≡ k = - 1/2 + √(7/2)
e poi individuare le intersezioni
* sull'asse x in A((5 - √14)/2, 0), B((3 + √14)/2, 0)
* sulla parabola Γ in ((5 - √14)/2, 9/2 - √14), ((3 + √14)/2, 9/2 - √14)
51714
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Genius I
