[Risolto] ES 422

@francesca1234280

Ciao. OK solo il punto e) come richiesto

{x^2 + y^2 - 2·k·x - 3·k = 0

{x + y + 2 = 0

Risolvo il sistema per determinare le intersezioni.

Procedo per sostituzione:  y = -x - 2

x^2 + (-x - 2)^2 - 2·k·x - 3·k = 0

sviluppo ed ottengo una equazione parametrica di 2° grado

2·x^2 + 2·x·(2 - k) - 3·k + 4 = 0

Applico a formula risolutiva ridotta calcolando dapprima: Δ/4

(2 - k)^2 - 2·(4 - 3·k) = k^2 + 2·k - 4

per avere soluzioni reali: k^2 + 2·k - 4 > 0

k < - √5 - 1 ∨ k > √5 - 1 ( cioè: k < -3.236067977 ∨ k > 1.236067977)

Quindi proseguo:

x1 = ((2 - k) - √(k^2 + 2·k - 4))/2

x2 = ((2 - k) + √(k^2 + 2·k - 4))/2

poi:

y1 = - ((2 - k) - √(k^2 + 2·k - 4))/2 - 2 =(√(k^2 + 2·k - 4) + k - 6)/2

y2 = - ((2 - k) + √(k^2 + 2·k - 4))/2 - 2 = - (√(k^2 + 2·k - 4) - k + 6)/2

Calcolo le differenze:

Δx^2 = (((2 - k) + √(k^2 + 2·k - 4))/2 - ((2 - k) - √(k^2 + 2·k - 4))/2)^2 =

= √(k^2 + 2·k - 4)^2 = k^2 + 2·k - 4

Δy^2 =(- (√(k^2 + 2·k - 4) - k + 6)/2 - (√(k^2 + 2·k - 4) + k - 6)/2)^2 =

=(- √(k^2 + 2·k - 4))^2 = k^2 + 2·k - 4

Quindi applico la relazione (Pitagora): √(Δx^2 + Δy^2) = 2·√2

√((k^2 + 2·k - 4) + (k^2 + 2·k - 4)) = 2·√2

√(2·k^2 + 4·k - 8) = 2·√2 elevo al quadrato:

2·(k^2 + 2·k - 4) = 8

2·k^2 + 4·k - 16 = 0

k^2 + 2·k - 8 = 0

(k - 2)·(k + 4) = 0

k = -4 ∨ k = 2 accettabili entrambe

Il punto a è malposto.
L'equazione
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 - 2*k*x - 3*k = 0 ≡
≡ (x - k)^2 + y^2 = (k + 3)*k
rappresenta una circonferenza di centro C(k, 0) che percorre l'asse x e di raggio r = √((k + 3)*k).
* per (k + 3)*k < 0 ≡ - 3 < k < 0: Γ(k) ha raggio immaginario positivo.
* per (k + 3)*k = 0 ≡ (k = - 3) oppure (k = 0): Γ(k) ha raggio zero e degenera su C.
* per (k + 3)*k > 0 ≡ (k < - 3) oppure (k > 0): Γ(k) ha raggio reale positivo.
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I punti {b, c, d} sono banali
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Il sistema fra la retta
* s ≡ x + y + 2 = 0 ≡ y = - (x + 2)
e Γ(k) ha risolvente
* x^2 + (x + 2)^2 - 2*k*x - 3*k = 0 ≡
≡ x^2 + (2 - k)*x + (4 - 3*k)/2 = 0
con discriminante
* Δ(k) = (k + 1)^2 - 5
che, per avere due intersezioni estremi di una corda c = 2*√2, dev'essere positivo.
Quindi
* (y = - (x + 2)) & ((x - k)^2 + y^2 = (k + 3)*k) & ((k + 1)^2 > 5) ≡
≡ P((k - 2 - √((k + 1)^2 - 5))/2, (- (k + 2) + √((k + 1)^2 - 5))/2)
oppure
≡ Q((k - 2 + √((k + 1)^2 - 5))/2, (- (k + 2) - √((k + 1)^2 - 5))/2)
da cui
* |PQ| = √(2*((k + 1)^2 - 5))
* (√(2*((k + 1)^2 - 5)) = 2*√2) & ((k + 1)^2 > 5) ≡
≡ (k = - 4) oppure (k = 2)
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* Γ(- 4) ≡ (x + 4)^2 + y^2 = 4
* Γ(2) ≡ (x - 2)^2 + y^2 = 10
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D-x-2%2C%28x--4%29%5E2%3D4-y%5E2%2C%28x-2%29%5E2%3D+10-y%5E2%5D